The application of mathematics education in the formation of philosophical disposition
Subject Areas :مجتبی پورکریمی هاوشکی 1 , Rasoul eskandari 2
1 -
2 - Department of Educational Sciences, Farhangian University of Tehran
Keywords: philosophical application , Absolutist approach, Constructivist approach, mathematical education,
Abstract :
The aim of this study is to address the application and role of non-mathematics role of mathematics. It aims to show that mathematics education should improve students' thinking and develop their philosophical motives. to achieve the above goal, an analytical - deductive method has been used. In this study, we have examined the foundations of two absolutist and Constructivist approaches in mathematics education to infer their non-mathematical functions. Absolutist mathematics education should be able to convey: the attempt to understand fixed rules, the value of transmission and understanding, the distance from superficial observation and the redesigned nature of being. Constructivist mathematics education should also be able to convey the acceptance of theories as justified beliefs, the constructivist power of the human mind, conscious participatory interaction and genealogical examination of topics and concepts. Principles that do not contradict and contradict each other and are in a complementary continuum. Based on the above findings, in the optimal case, the result of the relationship between philosophical foundations and mathematics education will be that philosophical foundations will lead the teaching process and, of course, mathematics teaching in the first step. That is, different philosophical approaches will be oriented to goal selection, content editing, teaching methods, teacher and student roles, and ultimately evaluation in mathematics. In the second step, guided mathematics education with philosophical foundations will shape the philosophical nature of students. And this will be a continuing cycle because the mind will grow in a dynamic state and the thinking will become generous.
منابع فارسی:
- احمدی غلامعلی، ریحانی ابراهیم، روحی ندا، 1394. تأثر آموزش مبتنی بر گفتمان ریاضی بر توانایی استدلال ریاضی دانش‌آموزان دوره متوسطه. مجله روانشناسی مدرسه. دوره 4 شماره 1 صص 37-22.
- ادیب نیا، اسد، (1381) بررسی محتوای کتاب ریاضی سال چهارم از منظر معلمان. فصلنامه نوآوری‌های آموزشی دوره 1 شماره 2 ص 53-75
- افلاطون (1388) چهار رساله، (محمود صناعی، مترجم). تهران انتشارات هرمس.
- امین زاده، انوشه، حسن آبادی حمید رضا، 1389. نارسایی‌های شناختی زیربنایی در ناتوانی ریاضی مجله روانشناسی تحولی سال ششم. شماره 23
- امینی فر الهه، صدق پور بهرام، ولي نژادترکماني فاطمه (1390) نقش تکنولوژی در یادگیری ریاضی. نشریه علمی پژوهشی فناوری آموزشی سال پنجم. جلد 5 شماره 4 صص 265-272
- باقری خسرو (1389). رویکردها و روش‌های پژوهش در فلسفه تعلیم و تربیت. تهران. پژوهشکده مطالعات فرهنگی و اجتماعی
- بهرنگي محمدرضا,عباسيان حسين,زبرجدي آشتي آرش(1394). الگوی مدیریت آموزش ریاضی، راهبردی مؤثر بر پیشرفت درسی دانش‌آموزان پسر دوره متوسطه. دوره 4 , شماره 2 ; صص 185 - 205
- پهلوان اعظم، کجباف محمد باقر. (1390) نقش واسطه‌ای فرایند آموزش ریاضی و فرهنگ مدرسه در ارتباط میان وضعیت اقتصادی- اجتماعی خانواده و باورها و ارزشها درباره یادگیری ریاضی با نگرش ریاضی. فصلنامه نوآوری‌های آموزشی. شماره 40 سال دهم صص 149- 168
خبازی کناری مهدی(1394). دریدا و هوسرل:تعلیق یا تمکین.نشریه فلسفه.43(2).39-56
- دوایی مهدی 1379، تحلیل محتوای کتاب‌های ریاضی مقطع ابتدایی بر اساس دیدگاه برنامه درسی جروم برونر. تازه‌های علوم شناختی، دوره 2 شماره 1-2 صص 10-18
- دهقانی یوسف، حکمتیان فرد، صادق، (1398) اثربخشی آموزش کارکردهای اجرایی بر عملکرد توجه و بازداری پاسخ در دانش‌آموزان دارای اختلال ریاضی. دوره 9 , شماره 34 ; صفحه 137 تا صفحه 158.
- دیویی، جان (1321) مدرسه و شاگرد. (مشفق همدانی، مترجم). تهران. شرکت سهامی چاپ کیهان.
- رحيمي زهرا،طلايي ابراهيم,ريحاني ابراهيم,فردانش هاشم(1395) بررسی اثربخشی آموزش با تأکید بر راه‌حل های چندگانه در نگرش دانش‌آموزان نسبت به درس ریاضی. دوره 9 , شماره 3 ; صفحه 224 تا صفحه 233.
- زارع حسین، محمدی احمد آبادی 1390. تأثیر آموزش فراشناخت در حل مسائل ریاضی دانش‌آموزان. فصلنامه رهیافتی نو در مدیریت آموزشی سال دوم شماره 3 صص 161-176
صناعی محمود(1390).آزادی فرد و قدرت دولت.تهران. انتشارات هرمس.
عبادی سید حسین(1396) برنامه درسی پنهان:چالش پیدا یا فرصت ناپیدا!؟. نشریه پژوهش در برنامه ریزی درسی.14(25) 35-46.
- عابدی احمد، پیروز معصومه، یارمحمدیان احمد. (1391) اثربخشی آموزش توجه بر عملکرد ریاضی دانش‌آموزان با ناتوانی یادگیری ریاضی. مجله ناتوانی‌های یادگیری دوره 2 شماره 1 صص 106-92
- عصاره علیرضا، زادشیر محبوبه. بررسی تأثیر آموزش ریاضی به کمک رایانه بر نگرش ریاضی دانش‌آموزان دختر پایه نهم. فصلنامه خانواده و پژوهش شماره 35 صص 49-64
- علم الهدایی، سید حسن، 2000، اضطراب ریاضی، مجله روانشناسی و علوم تربیتی سال پنجم، شماره 1 صص 100-119
- فراهانی علی، ارجمندنیا علی اکبر، افروز غلامعلی، حسن زاده سعید 1390 تحلیل محتوای کارکردی کتاب‌های ریاضی مقطع ابتدایی دانش‌آموزان کم‌توان ذهنی. نشریه دانش شناسی. دوره 4 شماره 15 ص 53-64
- فولادچنگ، محبوبه 1384. بررسی تأثیر آموزش فراشناختی بر پیشرفت تحصیلی درس ریاضی. فصلنامه نوآوری‌های آموزشی، شماره 4 صص 150-162
- قاسم تبار، سید نبی الله. مفیدی فرخنده. زاده محمدی علی. قاسم تبار سید عبدالله 1390. تأثیر آموزش موسیقی در مهارت‌های پایه ریاضی کودکان پیش‌دبستانی مجله روانشناسی تحولی سال هفتم. شماره 27. صص 245-254
- کرمی زهره، اسد بیگی پژمان، کرمی، مهدی (1392) تحلیل محتوای کتاب ریاضی 1 پایه اول متوسطه بر اساس تکنیک ویلیام رومی و حیطه شناختی بلوم... پژوهش در برنامه‌ریزی درسی سال دهم، دوره دوم، شماره 10. 37 صص 179-167.
- مقدم علیرضا، سهرابی طیبه 1391، تحلیل محتوای کتاب‌های ریاضی دوره ابتدایی ازنظر مؤلفه‌های فرهنگی. فصلنامه مطالعات برنامه درسی ایران. سال هفتم، شماره 25 صص 115-138.
نقیب زاده عبدالحسین(1394). نگاهی به فلسفه آموزش و پرورش.تهران. انتشارات طهوری.
منابع انگلیسی:
- Bulut Mehmet (2007) Curriculum Reform in Turkey: A Case of Primary School Mathematics Curriculum. Eurasia Journal of Mathematics, Science & Technology Education, 3(3), 203-212
- Bhaskar, R (1998), The Possibility of Naturalism a Philosophical Critique of the Contemporary Human Sciences. Rutledge.
- Brezovszkya Boglárka,others. (2019) Effects of a mathematics game-based learning environment on primary school students' adaptive number knowledgeComputers & Education. 128, (10), pp 63-74.
- Demitriadou Eleni, Stavroulia1 Kalliopi-Evangelia, Lanitis. Andreas (2019)Comparative evaluation of virtual and augmented reality for teaching mathematics in primary education. Education and Information Technologies https://doi.org/10.1007/s10639-019-09973-
- Katrinvan den Ann, AisoHeinze Ham (2018) Does the textbook matter? Longitudinal effects of textbook choice on primary school students’ achievement in mathematics. Studies in Educational Evaluation 59(1), 133-140
- Izmirli I.M (2020).Some Reflections on the philosophy of Mathematics Education: A Denunciation of the Time and Content Arguments. Pedagogical Research. 5(2) 1-6
- van den Bos Ilona Friso, van der Ven Sanne H.G. Evelyn H. Kroesbergen, Johannes E.H. van Luit (2013). Working memory and mathematics in primary school children: A meta-analysis. Educational Research Review. 10(2). 29–44
-Bishop, Alan, François, Karen, Van Bendegem, Jean Paul(2007) Philosophical Dimensions in Mathematics Education. By Springer Scienc.
Dowker,Ann, Bennett, Karina, Smith,Louise (2012) Attitudes to Mathematics in Primary School Children. Hindawi Publishing Corporation Child Development Research doi:10.1155/2012/124939
-Ernest Paul(1993) The Philosophy of Mathematics Education, Taylor & Francis
-Ernest, Paul (2005) Constructing Mathematical Knowledge. Taylor & Francis Inc
-Leung Frederick K.S, Graf Klaus-D, Lopez-Real Francis J (2006) -Mathematics Education in Different Cultural TraditionsA Comparative Study of East Asia and the West. by Springer Science Business Media, Inc
-Nash Marion, Lowe Jackie(2004) Language Development for Math’s Activities for Home.by David Fulton Publisher
-Sriraman, Bharath, English.Lyn(2010) Theories of Mathematics Education. Springer Heidelberg Dordrecht London New York
کاربرد آموزش ریاضی در شکل‌گیری منش فلسفی
1- مجتبی پورکریمی هاوشکی1
2- رسول اسکندری2
چکیده:
هدف این پژوهش پرداختن به کاربرد و نقش فلسفی ریاضیات است. هدف آن است تا نشان داده شود آموزش ریاضی می‌تواند باعث بهبود تفکر و رشد منش فلسفی دانش‌آموزان شود. به‌منظور دستیابی به هدف فوق از روش تحلیلی - استنتاجی استفاده شده است. در این پژوهش با مروری بر مبانی دو رویکرد مطلق‌گرا و ساخت‌گرا در آموزش ریاضی به استنتاج کارکردهای فلسفی آنها پرداخته‌ایم. آموزش ریاضی مطلق‌گرا باید بتواند: تلاش برای فهم قواعد ثابت، ارزش انتقال و فهماندن، دوری از سطحی‌نگری و ماهیت بازتوصیفانه هستی را منتقل نماید. آموزش ریاضی ساخت‌گرا نیز باید بتواند پذیرش نظریات به‌مثابه باورهای موجه، قدرت ساخت‌گرایانه ذهن بشر، تعامل آگاهانه مشارکتی و بررسی تبارشناسانه موضوعات و مفاهیم را منتقل نماید. اصولی که در تضاد و تناقض با هم نیستند و در یک پیوستار کامل‌کننده هم هستند. بر اساس یافته‌های فوق در حالت مطلوب، نتیجه رابطه مبانی فلسفی و آموزش ریاضیات به این‌گونه خواهد بود که مبانی فلسفی در گام نخست باعث هدایت فرایند آموزش و بالطبع تدریس ریاضی خواهند شد. یعنی رویکردهای مختلف فلسفی جهت‌دهنده به انتخاب هدف، تدوین محتوا، روش تدریس، نقش معلم و دانش‌آموز و در نهایت ارزشیابی در درس ریاضی خواهند شد. در گام دوم آموزش ریاضی هدایت‌یافته با مبانی فلسفی شکل‌دهنده منش فلسفی دانش‌آموزان خواهد شد و این چرخه‌ای ادامه‌دار خواهد بود به این دلیل که ذهن در حالت پویا رشد کرده و تفکر زایا خواهد شد.
کلیدواژه‌ها:
آموزش ریاضی، مطلق‌گرایی، ساخت‌گرایی، کارکرد فلسفی ریاضیات
مقدمه و بیان مسئله:
دو رویکرد را می توان در رابطه با آموزش ریاضی از هم تفکیک نمود. رویکرد اول در برنامه درسی به گونه ای تخصصی به ریاضی می نگرد.یعنی برنامه درسی، محتوای کتب ریاضی و روش های تدریس باید بتوانند تحقق بخش استلزام های رشته محوری در ریاضی باشند. نگاه تخصصی و رشته محوری، رویکرد غالب در حوزه آموزش ریاضی است. پژوهش‌ها نیز نشان دهنده آن است که کشورهای موفق در حوزه ریاضی در مدارس ابتدایی توجه به چنین آموزش هایی دارند. خصوصا فهم مفاهیم ریاضی (555 Leung, Graf, Lopez-Real, 2006 ,).بر این اساس از همان دوران ابتدایی توجه به ریاضی و فهم قواعد و قضایای آن را مد نظر دارند (Sriraman, English, 2010,175). توصیه مدافعان این رویکرد این است که بایداز روش‌هایی به‌منظور تقویت مهارت‌های ریاضیاتی مثل حل مسائل ریاضی، شمارش، ضرب و...استفاده نمود (van den Bos et al, 2013).گواه چنین امری سوق دادن فرایندهای حل مسئله ، اکتشاف و حتی بازی‌های ریاضی کودکان به سوی آشنایی مفاهیم ریاضی است (Nash, Lowe , 2004,11). بر اساس این رویکرد پژوهش‌ها در حوزه ریاضی باید به بررسی نحوه یادگیری مفاهیم و قواعد ریاضی پرداخته و نباید به‌سادگی عدم فهم را به ناتوانی دانش‌آموزان یا بی‌علاقگی آنها نسبت دهند (Bishop et al, 2007,108).بلکه باید به تغییر در روش ها و حتی اصول برنامه درسی در راستای بهبود فهم اقدام نمود. توجه به این رویکرد نقطه اشتراک غالب پژوهش ها در آموزش ریاضی است. پژوهش ها خواه آنهایی که در قالب تحلیل محتوا در پی آسیب شناسی کتب بوده اند و خواه پژوهش هایی که با اتخاذ چارچوبی نظری در تلاش برای ارائه مبانی، اصول و روش هایی در راستای بهبود یادگیری بوده اند. به عنوان مثال در حوزه تحلیل محتوا: تحلیل محتوای کتاب از منظر انطباق محتوا باهدف‌های آموزشی، اصول برنامه‌ریزی، روان‌شناختی و روش‌های جدید تدریس. (Adibnia,2008). تحلیل از منظر داشتن طرح درس، مسئله‌سازی، پیش سازمان دهنده، توجه به نکات اصلی، توجه به تشابه و تضاد مفاهیم، توجه به فهم و خلاقیت، و نظایر آن (Dawai, 2000). بر همین اساس عملکرد معلم و دانش آموز نیز مورد بررسی و قضاوت قرار گرفته است. یعنی هدایت های معلم و اعمال خلاقانه دانش آموز باید در نهایت ختم به فهم مسائل و قضایای ریاضی شود. در ارزیابی روش های تدریس نیز چنین تاکیدی لحاظ می شود.به عنوان مثال تأکید بر اهمیت فرایندهای فراشناختی بر یادگیری ریاضیات (Zare, Mohammadi Ahmadabadi, 2011) ، تأثیر استفاده از موسیقی در زمینه عینی سازی مفاهیم ریاضی (QasemTabar , Mofidi Zadeh Mohammadi, QasemTabar,2011)، افزایش حافظه کاری و ذخیره و پردازش بیشتر به‌منظور بهبود یادگیری ریاضی (Aminzadeh, Hassanabadi, 2010)، استفاده از رایانه در یادگیری ریاضی (Asare, Zadshir,2016)، توجه به مسائل فرهنگی و اجتماعی تأثیرگذار بر علاقه‌مندی و فهم ریاضیات (Pahlevan Kajbaf,2012)، افزایش حس خود کارآمدی و علاقه به فهم و استنتاج اصول و قواعدی برای فهم ریاضیات (Behrangi, Abbasian, Zobarjadi Ashti,2015)، تأثیر بحث‌های کلاسی بر توانایی استدلال ریاضی (Ahmady, Reyhani, Nakhostin Roohi, 2015)، بهره‌گیری از همکاری گروهی، بهبود شیوه تدریس، توجه به سرگرمی، تغییر در آزمون و نظایر آن به‌منظور کاهش اضطراب و افزایش رغبت در درس ریاضی (Alam Al-Hudaei, 2000 )،توجه به عوامل نگرشی و علاقه در عملکرد ریاض (Dowker , Bennett, Smith, 2012)، بررسی تأثیر استفاده از تکنولوژی در ایجاد علاقه و یادگیری و فهم مفاهیم ریاضی (Demitriadou, Stavroulia, Lanitis,2020)، (Amini Far , Sedekpour, and valy Nejad Turkmani, 2011). تأثیر استفاده از بازی بر یادگیری ریاضیات (Brezovszkya Boglárka et al,2019) پژوهش هایی ناظر بر این رویکرد هستند.
در کنار رویکرد فوق یعنی بهبود کیفیت تدریس ریاضی در راستای فهم ریاضی، برخی از پژوهش ها در کنار تخصص گرایی و رشته محوری، ریاضی را از منظر کارکردها و نقش ریاضی در زندگی مورد بررسی قرار داده است. در واقع ماهیت میان‌رشته‌ای ریاضی در ذیل این نگاه قرارداد. کارکردهایی که می‌توان آنها را به دودسته تقسیم نمود:
1- کارکردهای تمدن‌ساز یعنی نقش ریاضی در شکل‌گیری سازه‌ها و ابزارها و رشد علوم طبیعی (Kline,2010). این کارکرد را می‌توان ماهیت سخت‌افزاری ریاضی نیز نام نهاد. یعنی کارکردی که هدفش استفاده از ریاضی در شکل‌دادن و یا تغییر دنیا و جهان فیزیکی است.
2- کارکردهای فرهنگ ساز یعنی پرورش بعد غیر مادی و روحانی انسان. خصیصه ای که تاکید بر آن را می توان در دیدگاه اندیشمندان تربیتی نیز مشاهده نمود . به عنوان مثال، جان لاک هدف از توجه به ریاضیات در برنامه درسی را بهبود قدرت استدلال و تفکر می داند (Naghibzadeh, 2015). این کارکرد را می توان ماهیت نرم افزاری ریاضی نام نهاد. یعنی استفاده از ریاضی در راستای بهبود تفکر و منش انسانی. پژوهش های متعددی این رویکرد را دنبال نموده اند. در این زمینه می توان به پژوهشی اشاره نمود که به بررسی تأثیراتی می پردازد که به واسطه نگرش مثبت و منفی نسبت به ریاضی در سایر دروس ایجاد می شود. به عنوان مثال، نگرش مثبت به ریاضی انگیزه بخش برای مطالعه تمامی علوم و نگرش منفی سبب دوری از دروس علوم پایه میشود ( (Mackenzie, Holmes, Berger , 2023 و یا توجه به بازی، علامت‌ها، ستون و نوشتن اعداد به‌منظور تقویت حافظه (Ebadi,2017). در زمینه تحلیل محتوا نیز تحلیل کتب ریاضی از منظر تحقق خلاقیت دانش‌آموزان (Rahimi et al, 2016)؛ تحلیل کتب ریاضی از منظر میزان آمادگی افراد برای سازگاری و انطباق با محیط واقعی زندگی (Farahani et al,2012)؛ و یا تحلیل کتب ریاضی از منظر تحقق دغدغه‌های فرهنگی، اجتماعی و سیاسی (Moghadam, Sohrabi,2012).
توجه به رویکرد دوم یعنی توجه به کارکردها و تاثیرات ریاضی در بعد فکری یا نرم افزاری در کنار آموزش تخصصی ریاضی مورد توجه پژوهش حاضر است. هدف این پژوهش بسط و توسعه رویکرد کارکردی در زمینه بهبود منش فلسفی دانش اموزان است. بر این اساس، پژوهش پیش رو در تلاش برای استنتاج اصولی به منظور بهبود منش فکری(فلسفی) به واسطه آموزش ریاضی به گونه ای فلسفی است.
دررابطه‌با موضوع این پژوهش یعنی نقش آموزش ریاضی در شکل‌گیری تفکر و فلسفه‌ورزی پژوهش‌های متعددی به طور مستقیم یا غیرمستقیم انجام شده است. در ادامه به برخی از این پژوهش‌ها خواهیم پرداخت:
اسپیندلر3 (2022) معتقد است اعتقادات بنیادین در باب ریاضی تأثیرگذار بر افکار و باورهای اخلاقی است. حال‌آنکه جریان غالب توجهی به ارتباط ریاضی و سایر حوزه‌ها ندارد. به‌عنوان‌مثال در دیدگاه افلاطون ریاضی فرامادی و مستقل از بافت و فرهنگ است؛ لذا نمی‌تواند دلالت هایی در سایر حوزه‌ها داشته باشد.
کسبرگ، لیشکا و هیلمن4 (2022). در پژوهش خود به این پرداخته‌اند که یادگیری رویکردهای مختلف دارای تأثیری متقابل در آموزش ریاضی است. از یک سو به معلمان ریاضی در تدریس ریاضی کمک مینماید و از سویی دیگر با فراگیری این قواعد شیوه نگرششان و نوع برخوردشان نیز دچار تغییر خواهد شد.
کوزنسوا5 (2019) در پژوهش خود به اهمیت آموزش نظریه احتمال برای دانش‌آموزان ریاضی می‌پردازد. در این پژوهش نتایج نشان‌دهنده آن هستند که تدریس موضوعی نظیر احتمال منجر به علاقه‌مندی به مطالعه این نظریه، فهم ارزش این نظریه در فلسفه و شناخت نتایج عملی آن در زندگی شده است.
اشلی و شولدوس6 (2021) در پژوهش خود به این پرداخته‌اند که ریاضی دارای ماهیتی میان‌رشته‌ای است. اما این نقش تنها زمانی تحقق می یابد که هم معلم با این تأثیرات آشنا باشد و هم نگرش مثبتی به آن داشته باشد.
چوهان و سای7 (2020) در پژوهش خود به این پرداخته‌اند که افلاطون‌گرایی در ریاضی توجهی به ارتباط ریاضی با دنیای واقعی ندارد. یعنی افلاطون‌گرایی در ریاضی ابعاد اجتماعی تدریس و یادگیری ریاضی را منتفی می‌داند. در مقابل ساخت‌گرایی تأکید بر آشنایی با معنای اجتماعی نظام‌های نمادین و موارد کاربرد اجتماعی آنها دارد. بر اساس رویکرد ساخت‌گرا ریاضی می‌تواند شکل‌دهنده منش و تفکر انسان باشد. در واقع ریاضی باید از معرفی به‌عنوان مجموعه ارزشمندی از دانش8 که مخصوص افراد خاصی است به‌عنوان رشته و دانشی برای زندگی واقعی لحاظ شود.
یونالم9 (2020) در پژوهش خود به این پرداخته است که می‌توان جهان را به‌گونه‌ای ریاضیاتی ترسیم نمود. ریاضی ظرفیت فراهم نمودن یک‌زبان جهانی و یک مبنا برای انتزاع، تعمیم و ترکیب و بسط دهنده دلایل انتقادی و منطقی و مهارت‌های حل مسئله و تحلیل است. ریاضی همچنین با ظرفیت انتقادی‌اش زمینه تحول عدالت اجتماعی را فراهم مینماید. زمانی که به تعامل فلسفه و ریاضی پرداخته میشود در واقع مطالعه ذات بنیادین دانش، واقعیت و وجود مدنظر است. به‌عنوان‌مثال پرسش از اینکه آیا عدد وجود دارد و یا چه نوع وجودی دارد (وجودش به چه معنا است) زمینه پرسش از وجود و هستی‌شناسی مطرح میشود. یا استفاده از علائم و نمادها می‌تواند به‌عنوان مدلی در تمامی موضوعات کاربرد داشته باشد. همچنین سؤالاتی در باب اعتبار یافته‌ها زمینه ورود به مباحث معرفت‌شناختی را فراهم مینماید.
اوراادی و دونای10 (2023). در پژوهش خود به این پرداخته‌اند که منبع دانش ریاضی مسائل زندگی واقعی است و استنتاج و دلالت‌های حاصل از دانش ریاضی با زندگی واقعی درهم‌تنیده‌اند. به واسطه این ساختار، ریاضیات شامل مهارت‌ها و روش‌هایی است که در هر زمینه‌ای کاربرد داشته و از دوران قبل از مدرسه تا پایان عمر ادامه می‌یابد. فواید ریاضی از یک سو شامل بهبود و تقویت استدلال، تفکر و بحث افراد است و از سویی دیگر بسیاری از موضوعات دنیای واقعی دارای ساختاری ثابت‌اند و این ساختار ثابت می‌تواند با ابزارهای ریاضی تبیین شود.
پژوهش‌های فوق تأکید بر تأثیر عام آموزش ریاضی بر تفکر، باور و عمل دانش آموزان دارند. تحقق چنین هدفی را به واسطه علاقه‌مندی به ریاضی، تلاش برای بسط ریاضی و همچنین کاربرد ریاضی در شکل‌گیری منش فلسفی دنبال می نمایند. منشی که تفکر، تحلیل، ترکیب و نقد از مؤلفه‌های اصلی آن محسوب میشوند. پژوهش حاضر دررابطه‌با پیشینه‌های بیان شده در پی بسط تأثیر ریاضی در شکل‌گیری منش فلسفی به گونه ای خاص و نظام مند است. بدین صورت که با رجوع به مفروضات فلسفی دو رویکرد رایج در آموزش ریاضی به استنتاج اصولی در راستای ایجاد منش فلسفی بپردازد. تحقق هدف فوق با رجوع به مفروضات دو رویکرد غالب در آموزش ریاضی یعنی مطلق‌گرایی و ساخت‌گرایی است. اصولی که با الهام از آنها معلمین ریاضی در کنار بهره‌گیری از استلزامات این دو رویکرد در آموزش ریاضی بتوانند منش فلسفی مقتضی هر دو را نیز فراهم نمایند.
دررابطه‌با ضرورت این پژوهش باید توجه داشت که تحقق اهداف آموزشی مستلزم دانش رشته ای و میان رشته ای است.یعنی هم باید به دانش نظری و تخصصی توجه داشت و هم به اثرات، آرمانها، هنجارها و ارزشها(Marsh,2013,249) . در واقع هر موضوع آموزشی هم دارای محتوای تخصصی - رشته‌ای و هم محتوای جانبی( نتایج غیر تخصصی که بیشتر بر ایجاد مهات و نگرش تاکید دارد) است.محتوای تخصصی - رشته‌ای در ریاضی اشاره دارد به اهداف اصلی و قصد شده رشته ریاضی که درس ریاضی به دنبال تحقق آنها است. این محتوا چیزی است که باعث تمایز ریاضی از سایر دروس میشود. محتوای جانبی به انتظارات غیر ریاضیاتی اشاره دارد که ما عامدانه از قبل درس ریاضی در به دنبال دستیابی به آنها هستیم. البته در کنار اهداف قصد شده پیامدها و اثرات ناخواسته و ضمنی نیز باید لحاظ شود. پیامد ضمنی اشاره دارد به نگرش‌های ناخواسته‌ای که منتقل میشوند (Ebadi,2017). براین‌اساس باید در کنار تدریس و آموزش ریاضی به‌عنوان یک‌رشته تخصصی به کارکردهای آن نیز در سایر حوزه‌ها توجه نمود. در واقع دلیل توجیه‌کننده پرداختن به چنین همگرایی ازاین‌جهت است که پیامد تخصصی - رشته‌ای و قصد شده در صورت فراگیری - خواه مبتنی بر حفظ و خواه مبتنی بر یادگیری –به‌مرور فراموش خواهد شد. حتی دانش‌آموختگان رشته ریاضی در صورت عدم کاربرد و مرور قواعد یادگرفتن شده آنها را فراموش خواهند نمود. حتی در صورت دوام کاربردی محدود خواهد داشت. یعنی مباحث تخصصی صرفاً ماهیتی آکادمیکی و قابل‌فهم برای دانشجویان و دانش‌آموختگان رشته ریاضی است؛ اما پیامدهای جانبی و ضمنی قابلیت‌هایی هستند که به‌راحتی رنگ فراموشی به خود نخواهند دید. به‌عنوان‌مثال اگر بتوانیم به واسطه انجام اعمال ریاضی اهداف جانبی نظیر قدرت استدلال، بحث گروهی، مکاشفه گری، فرضیه‌سازی را در افراد تقویت نماییم، بعید است که این قابلیت‌ها به‌راحتی فراموش شود. به‌عنوان‌مثال اگر بتوانیم منش ساختن و نوخواهی را در بچه‌هایمان ایجاد نماییم این خصایص در آینده منجر به آن خواهند شد که نسلی توسعه‌طلب و خلاق در تمامی ساحات از جمله ریاضی داشته باشیم.
در راستای تحقق هدف فوق یعنی ارائه چشم‌اندازی فلسفی و منسجم از ماهیت غیر ریاضیاتی ریاضی این پژوهش در تلاش است تا با رجوع به دو رویکرد از رویکردهای مطرح در آموزش ریاضی یعنی مطلق‌گرایی و ساخت‌گرایی استلزامات غیر ریاضیاتی آنها را استنتاج و چشم‌اندازی کلی برای تدوین، آموزش و تدریس آنها فراهم نماید. دلیل انتخاب این دو رویکرد ازاین‌جهت است که نظریات متنوع در ریاضی به‌طورکلی در دو رویکرد قابل‌تقسیم بندی هستند. دسته اول نظریاتی که وجه مشترک تمامی آنها وجود قوانین ثابت و فرازمانی و مکانی در ریاضیات است و دسته دوم نظریاتی که وجه مشترکشان نسبیت و تأثیر عوامل زمانی، مکانی و فرهنگی در شکل‌گیری و ترویج ریاضیات است. براین‌اساس، سؤالات این پژوهش به شرح زیر خواهد بود:
1- آموزش ریاضی مطلق گرا چگونه منجر به ایجاد و پرورش منش فلسفی دانش آموزان خواهد شد؟
2- آموزش ریاضی ساخت گرا چگونه منجر به ایجاد و پرورش منش فلسفی دانش آموزان خواهد شد؟
روش‌شناسی پژوهش:
این تحقیق ازنظر طرح، جزو تحقیقات کیفی است. روش به کار گرفته شده تحلیلی - استنتاجی است. روش تحلیل و استنتاج، یکی از روش‌های مطرح پژوهشی در فلسفه تعلیم‌وتربیت است. این روش زمانی به کار برده میشود که پژوهشگر مسائل تعلیم‌وتربیت، موضع فلسفی معینی را مبنا قرار می‌دهد و می‌خواهد آن را کاربردی کند، به‌نحوی‌که بتواند برای مسائل تعلیم‌وتربیت پاسخی فراهم کند. تحلیل در این پژوهش دارای دو گام است. گام اول توصیف، یعنی بررسی موضوع مدنظر و گام دوم، تعیین شرط‌های لازم (Bagheri,2010,137). در این پژوهش، جمع‌آوری اطلاعات با رجوع به کتب و مقالات انتشاریافته دررابطه‌با آموزش ریاضی، دیدگاه‌های فلسفی به طور عام و به طور خاص (فلسفه ریاضی) دررابطه‌با آموزش ریاضی انجام شده است. در قسمت تبیین چارچوب نظری سعی شده است تا به کتب و مقالات صاحب‌نظران آموزش ریاضی رجوع شود، کتب و مقالاتی که عمدتاً ماهیتی نظری و توصیفی دارند. در قسمت پیشینه و بیان مسئله به مقالات پژوهشی رجوع شده که عمدتاً به بررسی چگونگی اثربخشی و یا آسیب‌شناسی آموزش ریاضی پرداخته اند. روش تجزیه‌وتحلیل به این شکل انجام شده است که پس از مطالعه دیدگاه‌های فلسفی مطلق‌گرایی و ساخت‌گرایی در آموزش ریاضی به استنتاج اصول فلسفی پرداخته‌ایم.
تبیین دو رویکرد مطلق‌گرایی و ساخت‌گرایی در آموزش ریاضی
ازآنجایی‌که هدف این پژوهش توجه به استلزامات غیر ریاضیاتی رویکردهای غالب ریاضیات در زندگی است؛ لذا در ادامه به تحلیل دو رویکرد مطرح در حوزه آموزش ریاضی و سپس به استنتاج استلزاماتشان خواهیم پرداخت. در این زمینه به مطلق‌گرایی و ساخت‌گرایی به‌عنوان دو رویکردی که همواره در برابر هم قرار گرفته‌اند اشاره خواهیم نمود.
مطلق‌گرایی در آموزش ریاضیات:
منشأ مطلق‌گرایی را می‌توان در آرای اندیشمندان یونان باستان جست‌وجو نمود. بسیاری از فلاسفه آن دوران از جمله افلاطون و ارسطو جهان را به‌عنوان یک موجود کامل می‌نگریستند. آنها معتقد بودند که در چنین قلمروی بی‌نقص، باید بتوان نتایجی بی‌نقص و درعین‌حال بدون بهره‌گیری از تکنیک‌های تجربی به دست آورد11 (Izmirli,2020). افلاطون جهان را طبقه‌بندی‌شده و بالاترین و کامل‌ترین مرتبه را جهان ایده‌ها یا مثل و پست‌ترین مرتبه را جهان مادی می‌دانست. جهان مثل محل استقرار موجودات حقیقی است و جهان فیزیک محل استقرار موجودات فانی. موجودات حقیقی بازنمود خود را در قالب مفاهیم تبلور می بخشند (Plato, 2010,168). ارسطو حقایق مطلق و کامل افلاطون را باورداشت ما آنها را نه درجهان مثل بلکه در همین جهان و به آنها صورت نام نهاد (62، Aristotle,1971). آنچه مسلم است ایده‌های افلاطونی و صورت‌های ارسطویی گواه وجود موجودات کامل و ثابت هستند؛ لذا وظیفه اصلی علم در گام نخست کشف این حقایق و در گام دوم انتقال و آموزش آنها است. در دیدگاه افلاطون موجودات حقیقی بازنمود خود را در قالب مفاهیم تبلور می بخشند (Plato, 2010,168). براین‌اساس تمامی حوزه های معرفتی ملزم به کشف ایده ها یا همان موجودات حقیقی و ارائه آنها در قالب مفاهیم هستند. یکی از حوزه‌هایی که هدفش کشف حقایق ثابت و کامل است ریاضی است.
مطلق‌گرایی، ریاضی را دانشی مطلق با تعاریف و قواعدی ثابت و پیشینی لحاظ مینماید (4-5 Ernest, 1993,) با توجه به ماهیت پیشینی و ثابت این علم، آموزش ریاضی یا صرفاً انتقال و فهماندن دانش ریاضی است یا اکتشافی، یعنی معلم و دانش‌آموز باید به کشف مفاهیم و قواعد ریاضی بپردازند (Ernest,2005,1 ). امروزه نوافلاطونیان در حوزه ریاضی، مانند کانتو12، هرمیت13 و گودل14، مفاهیم و موضوعات ریاضی مثل اعداد را واقعیت‌هایی می‌دانند که مستقل و خارج از ذهن ما وجود دارند و ما باید آنها را درک نماییم. در این راستا هرکدام از مفاهیم و نمادهای ریاضی بازنمودی از حقایق جهان هستند (Sriraman B, English, 2010,214-215).آنچه که برای مطلق گرایان مهم است این است که دانش آموزان بر مهارت های مورد نیاز در آن سطح تسلط پیدا کنند. استاد حقایق را ارائه می دهد و دانش آموز آنها را بی کم و کاست می آموزد (Izmirli,2020). در این شیوه تلاشی برای نقد و یا احساس نیاز برای به زیر سوال بردن اعتبار دانش منتقل شده وجود ندارد.
ساخت‌گرایی در آموزش ریاضیات:
اگرچه اصطلاح ساخت‌گرایی برای اولین‌بار توسط ژان پیاژه مطرح شد، اما می‌توان ایده‌های ساخت‌گرایی را در آثار فیلسوفان اولیه یونانی مانند هراکلیتوس، پروتاگوراس و سقراط یافت. در واقع، ادعای هراکلیتوس که همه چیز جریان دارد، ادعای پروتاگوراس که انسان معیار همه چیز است، و قاعده سقراطی که من فقط می‌دانم که هیچ‌چیز نمی‌دانم را می‌توان به‌وضوح در راستای ساخت‌گرایی تفسیر کرد (Izmirli,2020). بنیان ساخت‌گرایی این ایده است که دانش به طور منفعلانه دریافت نمی‌شود، بلکه به طور فعال توسط پژوهشگران ساخته میشود (Yan, Suyue, Ma, 2020). دانش نتیجه فعالیت سازنده یک سوژه فردی است، نه کالایی که به نحوی در خارج از فرد قرار دارد و می‌تواند با ادراک یا ارتباطات زبانی منتقل یا القا شود؛ بنابراین، دانش یک فرایند شناختی خودسازماندهی شده در مغز انسان است که هدف آن دستیابی به تصویری واقعی از دنیای واقعی نیست، بلکه تشکیل سازمانی قابل‌دوام از جهان آن‌گونه که تجربه میشود، است (Izmirli,2020).
ساخت‌گرایی، در حوزه ریاضی مدنظر متفکرینی چون پل ارنست و جرج پولیا15 است. ساخت‌گرایی از دو منظر قابل‌تأمل است 1- ساخت‌گرایی در تقابل با مطلق‌گرایی معتقد است دانش ریاضی مانند سایر علوم، نوعی باور موجه است (4 Ernest, 1993,) باوری که در قالب مفاهیم قابل‌آزمون خود را نشان می‌دهد. نمادهای ریاضی ساخته و مرتبط با این مفاهیم هستند. این مفاهیم که هویت‌بخش نمادها هستند مشتق از تجارب ما از جهان واقعی‌اند. پس هم مفاهیم و هم نمادها در تعامل با محیط ساخته میشوند. به‌عنوان‌مثال، عمل تجربی شمارش نیاز به عدد را ایجاد نموده است (Ernest,2005,6 ). ازاین‌جهت در کنار ساخت مفاهیم و نمادها توجه به بررسی مفاهیم ریاضی در سیر تاریخ نیز حائز اهمیت است. به‌عنوان‌مثال تعریف عدد در دوران باستان، رنسانس و عصر حاضر (Bishop, Karen, Van Bendegem, 2007,88). سیر تاریخی اشاره به این دارد که اثبات‌های ریاضی از استانداردهای متفاوتی در دوره‌های مختلف تاریخ پیروی می‌کنند(Izmirli,2020). براین‌اساس عناصر تاریخی و فرهنگی برای آموزش ریاضیات ضروری است (Yan, Suyue, Ma, 2020). باید توجه داشت که ارائه ریاضیات در یک زمینه تاریخی و فرهنگی، مفهومی از این رشته را به‌عنوان یک حوزه مطالعاتی پویا و دائماً در حال تغییر که قابل رد و تجدیدنظر است تأیید می‌کند. همچنین، رویکرد تاریخی خصلت بین‌المللی ریاضیات را نشان می‌دهد. این حقیقت که همکاری فراملی، همبستگی جهانی و مشارکت دانشمندان همیشه مظهر توسعه ریاضیات بوده‌اند (Izmirli,2020).
2- ساخت گرایی در حالتی ملایم تر معتقد است هرچند معرفت علمی توسط انسان ساخته می شود، اما این نفی کننده وجود یک واقعیت هستی شناختی بیرونی مستقل از اندیشه بشری نیست. صرفاً ادعای غیرقابل دسترس بودن آن است. پذیرش این اعتقاد منجر به آن خواهد شد تا با اعتراف به خطا پذیر بودن اعتقاداتمان هرگز با اطمینان به خاموش کردن اعتقادات دیگران نپردازیم (Mill,2011,215-216).لذا ما خواهیم پذیرفت که هیچ راهی برای تأیید اینکه فرد به دانشی قطعی از جهان دست یافته است وجود ندارد. همچنین روش شناسی معتبر واحدی در علم وجود ندارد، بلکه روش های گوناگون می توانند مؤثر باشند(Izmirli,2020).بر این ساس باید عدم قطعیت و حل مسئله را جایگزین قطعیت و انتقال مفاهیم صرفا انتزعی نمود(Akbayir K, Tedikci, 2022).
استلزام های فلسفی مطلق‌گرایی:
1- تلاش برای فهم قواعد ثابت. یکی از اهداف آموزشی شکل‌گیری منشی است که بر اساس آن افراد در مسیر کشف حقایق تلاش نمایند. تلاشی که ثمره آن یا اثبات یا باور موجه و قابل‌پذیرش در یک موضوع برای همگان باشد. در راستای تحقق هدف فوق مفروضه دوم مطلق گرایی در ریاضی می‌تواند مفید باشد. بر اساس مفروضات مطلق‌گرایی در آموزش ریاضی، ریاضی‌دانشی مطلق با تعاریف و قواعدی ثابت و پیشینی است و تلاش‌های فکری باید در راستای دستیابی به آنها باشد. پذیرش چنین اصلی از علمی معتبر که بر بستر موضوعاتی انتزاعی ساخته شده زمینه حرکت به سمت دستیابی به قواعد مطلق در حوزه‌های دیگر مانند اخلاق و دین را فراهم مینماید. باید توجه داشت که افلاطون بنیان تعاریف انتزاعی ثابت در علوم‌انسانی را از علم ریاضی وام‌گرفته است(Plato, 2004,165-166). اعتماد به چنین خصیصه‌ای در هستی ازاین‌جهت مهم است که امروزه اندیشه‌های نسبی‌گرا و ساخت‌گرایی افراطی در حال گسترش بوده و داعیه ساخت شخصی یا اجتماعی دانش دارند. حال‌آنکه نیاز دنیای امروز در حوزه‌های انسانی دستیابی به مفاهیمی قابل‌پذیرش برای همگان است. در غیر این صورت تفاسیر ماهیتی خودسرانه خواهد یافت و اندیشه ها لفظ تهی از معنا خواهند بود Gadamer,2008,15)). در نتیجه مفاهیمی نظیر آزادی، عدالت، شجاعت، حکمت می‌توانند بیشتر از آنگه هدایت گر باشند محدودیت آفرین باشند. تاکید بر تلاش در این اصل ضامنی است برای اینکه هیچ فرد یا گروه و جامعه یا دین و مشرب فکری به خود اجازه ندهد تا ادعا نماید که به حقیقت دست‌یافته است. چرا که طرح چنین ادعایی زمینه شکل گیری تعصب، تحمیل آراء یک فرد یا طیف بر دیگران(Mill,2011,265). و محرومیت از آشنایی با دست آوردهای جدید را به همراه خواهد داشت.
2- ارزش انتقال و فهماندن. یکی از اهداف نظام آموزشی ایجاد منش کوشش محور و بها دهنده به دانش و دانش‌اندوزی صرف‌نظر از نتایج مادی آن است. یعنی دانش‌آموزان به‌تمامی علوم و حوزه‌های معرفتی بها داده و تسلط و فراگیری این حوزه‌ها را ارزشمند تلقی نمایند. مفروضه دوم ما از مطلق‌گرایی می‌تواند در این راستا نیز مفید واقع شود. در مفروضه دوم باتوجه‌به ماهیت پیشینی و ثابت علم ریاضی، آموزش ریاضی در گرو انتقال و فهماندن دانش ثابت ریاضی به طور کامل است. انتقال مفهومی است که امروز در مباحث تربیتی مورد کم‌توجهی قرار گرفته است. علت آن حالت انفعالی دانش‌آموز در این شیوه است. اما باید توجه نمود که همواره نمی‌توان انتظار داشت که دانش‌آموزان نسبت به‌تمامی مباحث علاقه‌مند شده و فعالانه به کشف و ساختن بپردازند؛ لذا نمی‌توان محتوای غنی را تا آن زمان رها نمود. به تعبیر دیویی رویکردهای کوشش محور معتقد به این هستند که کودکان در دوران تحصیل با موضوعاتی مواجه میشوند که در آن دوران برای آنها هیچ نفعی ندارد. این موضوعات در آینده به کار آنها خواهند آمد. بیتوجهی به این موضوعات و رفتن به سمت لذت و رغبت منجر به آن میشود که دست کودکان را برای آینده خالی نماییم. اما انضباط و کوشش زمینه این را فراهم مینماید که فرد در قبال مسائل پیشرو که عمدتاً تحمیلی هستند، توانایی مواجهه و حل مسئله را داشته باشد (Dewey,1942,34 ) در کنار مبحث انفعال باید به این نکته نیز توجه نمود که بسیاری از موضوعات مانند اسامی اشخاص، مکان‌ها، حفظ اشعار و نظایر آن ماهیتی انتقالی و حفظی دارند. اینها موضوعاتی هستند که هر فرد فرهیخته‌ای باید با آنها آشنا باشد. به‌عنوان‌مثال نمی‌توان ایرانی بود و با اسامی شعرا، مفاخر ملی و مکان‌های تاریخی و فرهنگی مهم کشورمان آشنا نبود.
3- دوری از سطحی‌نگری. یکی از اهدافی که نظام آموزشی باید ایجاد نماید منش کاوش‌گری به‌جای پذیرندگی و انفعال است. تحقق هدف فوق در گرو آن است که دانش‌آموزان به این باور دست یابند که محتوای ارزشمند کتاب‌ها تنها بخش کوچکی از دریای عظیم علم را کشف و نشان داده‌اند. بخش عظیمی از علم پنهان و نیازمند کشف و انتشار است. مفروضه دوم ما از مطلق‌گرایی می‌تواند در این راستا نیز مفید و تأثیرگذار باشد. در مفروضه دوم، ریاضی به شیوه‌ای اکتشافی نیز کسب می گردد. یعنی معلم و دانش‌آموز باید به کشف مفاهیم و قواعد ریاضی بپردازند. بهره‌گیری از چنین فرایندی در آموزش ریاضی زمینه پذیرش حقایق پنهان را فراهم نموده؛ لذا نباید به‌گونه‌ای سطحی‌نگرانه به علوم توجه نمود. دوری از سطحی‌نگری با فرض وجود حقایق پنهان ما را به سمت حرکت از رویدادها و رخدادها به لایه‌های زیرین پنهان سوق خواهد داد. به تعبیر باسکار16 حرکت از سطح رخداد به سطح واقع، سطحی که شامل ساختارها و سازوکارهای ایجادکننده رخدادها است (Bhaskar,1998,20). کشف ما را از تفسیر به تبیین و از تبیین به جدی انگاری هستی می‌کشاند. جدی انگاری که ثمره آن تلاش برای جست‌وجوی حقایق پنهان است؛ لذا ما کارآگاهان دنیای واقعی خود خواهیم بود. این اصل همچنین این جسارت را به ما خواهد داد که جهان را پدیدارشناسانه بررسی نماییم. یعنی بتوانیم مفاهیم رایج را به تعبیر هوسرل در پرانتز قرار داده (Khabazi Kenari,2015) و آنها را آن‌گونه که هستند و خود را به ما نشان می‌دهند مشاهده و درک نماییم نه آن‌گونه که ما آنها را می‌بینیم یا دیگران به ما نشان داده‌اند. این اصل ازآنجاکه ناظر به واقعیت‌ها است؛ لذا زمینه نقد و رهایی بخشی از ساختارهای محدودیت آفرین را نیز ایجاد خواهد نمود.
4- ماهیت بازتوصیفانه هستی. یکی از اهداف نظام آموزشی افزایش قدرت فهم روابط بین عناصر و مؤلفه‌های یک موضوع و عینیت‌بخشی به آن است. عینیت‌بخشی به‌گونه‌ای که برای همگان قابل فهم بوده و بتوان آن را آموزش داد و همچنین زمینه تعمیم را فراهم نماید. در این راستا مفروضه سوم مطلق‌گرایی می‌تواند مفید باشد. مفروضه سوم اشاره به این دارد که در دیدگاه افلاطون و نوافلاطونیان، هر مفهوم، نماد و بازنمود یک ایده (موجودات واقعی انتزاعی) است و هرکدام از مفاهیم و نمادهای ریاضی بازنمودی از حقایق جهان هستند. آموزش ریاضی در این حالت ماهیتی مبتنی بر یافتن مدل و الگو خواهد بود. مدل و الگویابی به این معنا است که بتوان با استفاده از علائم و نشانه‌های ریاضیاتی، ساختار یک موضوع غیر ریاضی را نمایان ساخت. در این سطح، این سؤال را می‌توان مطرح کرد که مسئله موردنظر به کدام‌یک از شاخه‌های هندسه، کسر، جبر و... مربوط است و چگونه می‌توان آن را مدل‌سازی ریاضیاتی کرد (Alamiyan, Lotfinejad, Habibi,2019,5). در این سطح، مفاهیم و قضایای ریاضی باید بتوانند یک موضوع غیر ریاضیاتی را بازطراحی یا باز توصیف ریاضیاتی نماید. عملی که در تمامی حوزه‌ها و علوم دارای کاربرد است. درواقع بر همین اساس است که برخی مدل‌سازی را، شیوه‌ای در راستای کاربرد ریاضیات می‌دانند؛ و حرکت از ریاضیات محض به کاربردی قلمداد می‌نمایند (Rafiepour,2015). موضوعاتی چون: مدل ریاضی طرح استقرار سلول‌ها در سیستم تولید انعطاف‌پذیر (Jabal Ameli, Eastwester,2001) نمونه‌ای از مدل‌یابی هستند. به‌عنوان‌مثال تصویر رشتمان(تقسیم سلول)17 که به‌صورت زیر است:
بعد ازآنکه این شکل را به دانش‌آموز نشان می‌دهیم، او را راهنمایی می‌کنیم تا بتواند بر اساس نظم موجود در این استقرار آن را به زبان ریاضی نشان دهد. در این فرایند دانش‌آموز باید از قبل به درکی از قواعد ریاضی رسیده، سپس در ذهن خود مرور و تحلیل و سپس ساختار سلولی را بر اساس آن نشان دهد. در همین مثال دانش‌آموز پس از چند مرحله می‌تواند با روابط موجود بین شماره مرحله و تعداد سلول‌ها به الگوی رشد آنها که در عدد 2 ضرب می‌گردد برسد و این یعنی کشف الگوی رشد سلولی که در جهان واقعی موجود هست. چنین نگاهی(یافتن مدل و الگو) زمانی که به سایر حوزه ها منتقل می شود منجر به آن می شود که افراد در تمامی حوزه ها به دنبال یافتن یک ساختار با روابط مشخص باشند. چنین امری منجر به آن می شود که بسیاری از ایده ها و طرح های مبهم و فاقد انسجام شناسایی و مورد نقد قرار گیرند.
استلزام های فلسفی ساخت‌گرایی:
1- پذیرش نظریات به‌مثابه باورهای موجه: یکی از اهداف نظام آموزشی شکل‌گیری منشی علم پژوه و درعین‌حال بی‌تعصب و متواضع است. در واقع تعصب و غرور ثمره برداشت سطحی از علم‌ورزی است. برداشتی که علم را ثابت و محدود و کسب‌کننده آن را عالم و متخصص لحاظ مینماید. حال‌آنکه اعتقاد به سازه‌ای و فرضیه‌ای بودن علم در برابر ثبات و مطلق بودن آن زمینه تواضع و عدم تعصب را فراهم خواهد نمود. در راستای دستیابی به این هدف، مفروضه اول ما از ساخت‌گرایی می‌تواند مفید باشد. مفروضه اول اشاره به این دارد که دانش ریاضی مانند سایر علوم، نوعی باور موجه است باوری که در قالب مفاهیم قابل‌آزمون خود را نشان می‌دهد. اصل پذیرش نظریات به‌مثابه باورهای موجه منجر به آن خواهد شد که علوم را به‌مثابه فرضیه‌های موقت در نظر آورده و هیچگاه دررابطه‌با نظریات اثبات شده و اثبات‌کنندگان آنها جانب‌دارانه و متعصبانه عمل نکنیم. باید به این امر توجه داشت که باور موجه لزوماً انکارکننده حقیقت نیست؛ بلکه این فرض وجود دارد که یا حقیقت به طور کامل به دست نمی‌آید و یا ما چون معطوف به حل مسئله‌ای خاص بوده‌ایم؛ لذا جنبه‌ای خاص از حقیقت را یافته‌ایم و یا اینکه ابزارها و فهم ما ناقص و ناکافی است. باور موجه همچنین ضرورت گفت‌وگو، استدلال و تکافوی عدله را در مباحث علمی به همراه خواهد داشت. خصیصه گفت‌وگویی به تعبیر استوارت میل باعث رشد و پیشرفت علوم خواهد شد (Mill,2011,247).
2- قدرت ساخت‌گرایانه ذهن بشر. یکی از اهداف نظام آموزشی ایجاد منش نوآور، خلاق و ریسک‌پذیر است. در این راستا مفروضه دوم ما از ساخت‌گرایی می‌تواند مفید باشد. مفروضه دوم اشاره به این دارد که نمادهای ریاضی ساخته شده و مرتبط با مفاهیم هستند. توجه به قدرت ساخت‌گرایانه ذهن بشر افزایش‌دهنده اعتمادبه‌نفس و ایجادکننده منش نوآورانه است. منشی که به تعبیر استوارت میل حالتی است که افراد علاوه بر آنکه به کشف راه‌های تازه می‌پردازند؛ بلکه آگاهانه و اختیاری به تغییر سنت‌ها و ابداع راه نو برای اعمال شان می پردازند (Mill,2011,267). در واقع تا زمانی که ما جسارت ساختن و تغییر را نداشته باشیم، وابسته به دستاوردهای دیگران خواهیم بود. دستاوردهای دیگران به‌عنوان قوانینی ثابت لحاظ خواهند شد و ما مطیع آنها خواهیم بود. آنچه که به‌عنوان محافظه‌کاری لحاظ میشود برایند چنین تفکری است. یعنی قوانین ثابتی وجود داشته و دیگران به آن رسیده‌اند؛ لذا وظیفه ما حفظ و پاسداشت آنها است. به تعبیر استوارت میل اگر خلاقیت و نبوغی نباشد در نهایت این پاسداشت به پاسداشت ذهن ما از آشنایی با ایده‌های جدید تبدیل خواهد شد (Mill,2011,268).
3- تعامل آگاهانه مشارکتی. یکی از اهداف نظام آموزشی ایجاد منش تعاملی (بین‌رشته‌ای) و مشارکتی (کار تیمی) است. در واقع باتوجه‌به درهم‌تنیدگی هستی‌شناختی موضوعات (Bhaskar,2006). پژوهش میان‌رشته‌ای امری ضروری تلقی میشود. همچنین بالطبع آن کار تیمی و ایجاد فرهنگ مشارکت نیز ضروری خواهد بود. در راستای تحقق چنین منشی مفروضه سوم ما از ساخت‌گرایی می‌تواند مفید باشد. مفروضه سوم اشاره به این دارد که مفاهیم که هویت‌بخش نمادها هستند مشتق از تجارب ما در جهان واقعی‌اند. پس هم مفاهیم و هم نمادها در تعامل با محیط ساخته میشوند. اما باید توجه داشت که به دلیل ماهیت چندوجهی موضوعات، تعامل صرفاً به‌گونه‌ای مشارکتی و بین‌رشته‌ای به کمال خود خواهد رسید. دیویی یکی از متفکرینی است که به‌خوبی به این امر واقف است. او هدف از روش حل مسئله و تجربه متقابل را نه بالابردن قدرت کشف و حل مسئله بچه‌ها بلکه آماده نمودن برای تعامل متقابل افراد به واسطه کارگروهی برای مواجهه مؤثر با محیط می‌داند (Simpson & Stack,1954). برای او مشارکت و انسجام اجتماعی بر کشفیات علمی و حل مسائل ارجحیت دارد. در واقع رشد و توسعه علمی به‌خوبی گواه این است که علم نمی‌تواند به‌گونه‌ای انفرادی و همچنین تک‌رشته‌ای رشد نماید. بلکه فعالیت‌های گروهی و در قالب تعاملات بین‌رشته‌ای امکان رشد و توسعه را به همراه خواهد داشت.
4- بررسی تبارشناسانه موضوعات و مفاهیم. بررسی تاریخی هم از جهت پی‌بردن به علل و چگونگی شکل‌گیری دستاوردهای فرهنگی و تمدنی گذشته و هم ایجاد تهعد و قدردانی از گذشتگانی که زندگیشان را صرف خدمت به میهن و مردم کرده اند و بالیدن به هویت ملی یکی از اهداف نظام آموزشی است. در این راستا مفروضه چهارم ما از ساخت‌گرایی می‌تواند مفید باشد. مفروضه چهارم اشاره به این دارد که باید به بررسی مفاهیم ریاضی در سیر تاریخ پرداخت. تبارشناسی نه فلسفه تاریخ به معنای یافتن قاعده‌ای مطلق است و نه به معنای تاریخی‌نگری و نسبیت بلکه به‌مثابه بررسی هر دوره تاریخی به‌گونه‌ای مجزا و منحصربه‌فرد است. اینکه یک موضوع چگونه در یک برهه زمانی خاص ساخته‌وپرداخته شده است. عوامل رغبت به سمت موضوع مورد نظر چه بوده، موضوعات رقیب آن چه بوده‌اند (Foucault,2024,39-45). در تبارشناسی اسامی و اشخاص به حاشیه رفته و نیازها، تمایلات، صفات شخصیتی به مرکز خواهند آمد.
جدول شماره 1: اصول فلسفی برامده از دو رویکرد مطلق گرا و ساخت گرا در آموزش ریاضی
ردیف | اصول فلسفی برآمده از آموزش ریاضی مطلق‌گرا | اصول فلسفی برآمده از آموزش ریاضی ساخت‌گرا |
1 | تلاش برای فهم قواعد ثابت | پذیرش نظریات به‌مثابه باورهای موجه |
2 | ارزش انتقال و فهماندن | قدرت ساخت‌گرایانه ذهن بشر |
3 | دوری از سطحی‌نگری | تعامل آگاهانه مشارکتی |
4 | ماهیت بازتوصیفانه هستی | بررسی تبارشناسانه موضوعات و مفاهیم |
در تحلیل اصول فوق باید به این نکته اشاره نمود که صرف‌نظر از تمایزات بنیادین این دو رویکرد اما اصول استنتاج شده می‌توانند به‌عنوان مکمل هم در نظام آموزشی مورد استفاده قرار گیرند. در واقع همان‌طور که مقدمات هنجارین این پژوهش نشان می‌دهد، تمامی این اصول برآورده‌کننده اهداف آموزشی هستند. آموزش صرف‌نظر از تمایز رویکردها در عمل به‌منظور تحقق اهداف خود بهره‌گیری و رعایت تمامی اصول استنتاج شده را می‌طلبد. بهره‌گیری و رعایت تمامی این اصول است که یکپارچگی و رشد متوازن فرد و جامعه را به همراه خواهد داشت. در غیر این صورت یا ما به سمت مطلق‌گرایی سوق خواهیم یافت که ثمره منفی آن کنارگذاشتن خصایصی نظیر خلاقیت، نگرش تغییر و ریسک‌پذیری، بررسی بسترهای فرهنگی، اجتماعی و تاریخی خواهد بود. همچنین کنارگذاشتن مطلق‌گرایی نیز پیامدهایی منفی نظیر بیتوجهی و بی‌اعتبار دانستن ارزش‌های ثابت، کشف و انتقال دانش را به همراه خواهد داشت. ثمره آن نیز داشتن نگرشی سطحی و کاملاً ذهنی از دانش و معرفت خواهد بود.
بحث و نتیجه‌گیری:
هدف پژوهش حاضر نشان دادن کاربرد غیر ریاضیاتی ریاضیات در زندگی است. به تعبیری به‌جای جریان معمول حرکت از فلسفه به ریاضیات از ریاضیات به فلسفه حرکت نماید. جریان اول یعنی حرکت از فلسفه به ریاضیات هدفی است که بسیاری از مقالات در حوزه آموزش ریاضی به آن پرداخته اند. در این مقالات هدف استنتاج دلالت‌های از مبانی رویکردهای مختلف فلسفی در آموزش ریاضی است. جریان دوم؛ یعنی حرکت از ریاضی به فلسفه برخلاف جریان اول قصد دارد باتکیه‌بر ریاضی به‌عنوان علمی انتزاعی اما معتبر در کنار آموزش قواعد ریاضی، افراد را با منش فلسفی بار آورد. براین‌اساس ریاضی از حالت انزوایی و تخصصی خارج شده و حالتی پویا و فلسفی به خود خواهد گرفت. کتاب، کلاس و معلم ریاضی در کنار انتقال محتوای تخصصی ریاضی هم‌زمان در حال بارآوردن منش فلسفی دانش‌آموزان خود خواهد بود. منشی که با فراموشی قواعد تخصصی ریاضی فراموش نخواهد شد. منشی که به واسطه داشتن تفکر عمیق و کل‌گرایی فلسفی قادر به درک وقایع و مسائل زندگی و اتخاذ تدابیر و راه‌حل‌های مناسب دررابطه‌با آنها خواهد بود.
در این پژوهش دو رویکرد مطلق‌گرا و ساخت‌گرا در راستای تحقق هدف فوق مورد توجه قرار گرفته‌اند. این دو رویکرد از فلسفه وارد حوزه آموزش ریاضی شده و ماهیت و چگونگی برنامه درسی، محتوا، آموزش، تدریس، ارزشیابی و نقش معلم و دانش‌آموز را باتوجه‌به مفروضاتشان دستخوش تغییر نموده‌اند. اما ما در این مقاله نشان داده ایم که در مرحله بعدی این آموزش ریاضی است که می‌تواند بچه‌ها را با منش فلسفی مطلق یا ساخت‌گرایی آشنا نماید. به تعبیری فرایند پویا و زندگی‌بخش فلسفه نباید در کلاس ریاضی قطع شده بلکه باید تکثیر و گسترش یابد. در واقع باتوجه‌به جریان اول در حوزه آموزش ریاضی مفروضات فلسفی زمانی که در نظام آموزشی وارد میشوند تبدیل به اصولی برای جهت‌دهی به فرایند آموزش میشوند. در این حالت فلسفه در خدمت آموزش خواهد بود. فلسفه در حکم روغنی خواهد بود که موتور آموزش را برای ادامه حرکت روان و آماده نگه خواهد داشت. آموزش با کمک فلسفه به حرکت خاص خود ادامه خواهد داد. اما در جریان دوم که مدنظر ما بوده است آموزش ریاضی در خدمت فلسفه است. آموزش ریاضی در حکم شیوه‌ای است در راستای ایجاد و تعمیق اندیشه‌های فلسفی.
یافته‌های این پژوهش نشان داده است که آموزش ریاضی مطلق‌گرا و ساخت‌گرا باید بتوانند ویژگی‌های فلسفی زیر را در دانش‌آموزان ایجاد نمایند. آموزش ریاضی مطلق‌گرا باید بتواند: تلاش برای فهم قواعد ثابت، ارزش انتقال و فهماندن، دوری از سطحی‌نگری و ماهیت بازتوصیفانه هستی را منتقل نماید. آموزش ریاضی ساخت‌گرا نیز باید بتواند پذیرش نظریات به‌مثابه باورهای موجه، قدرت ساخت‌گرایانه ذهن بشر، تعامل آگاهانه مشارکتی و بررسی تبارشناسانه موضوعات و مفاهیم را منتقل نماید.
ارتباط اصول استنتاج شده برآمده از مطلق‌گرایی و ساخت‌گرایی در این پژوهش نه در تقابل با هم بلکه کامل‌کننده هم هستند. تکمیل‌کنندگی به این صورت است که مطلق‌گرایی با اصول بحث شده ارائه‌دهنده تصویری از هستی است که در پرتو آن امید به آبادانی زندگی بشر امکان‌پذیر است؛ اما شرط آن جدیت، جسارت و دوری از سطحی‌نگری است. اما این حرکت زمانی ثمربخش و مداوم خواهد بود که معرفت و یافته‌ها و دستاوردها را مطلق نپنداشته و همواره امکان تغییر یا تعدیل و یا رد آنها وجود داشته باشد همچنین این فرایند از طریق عمل مشارکتی ممکن خواهد بود.
در پایان آنکه ایجاد منش فلسفی به واسطه آموزش ریاضی مستلزم رعایت نکات ذیل است:
1- معلم باید با مبانی و اصول دیدگاه‌های فلسفی فوق آشنا باشد.
2- معلم باید دارای نگرش مثبت و علاقه‌مند به مبانی و اصول این دیدگاه‌ها باشد.
3- ایجاد منش باید نتیجه جانبی و ضمنی آموزش تخصصی ریاضی باشد. یعنی اگر معلم از اصول رویکردهای فوق در تدریس ریاضی استفاده نماید - با اشراف کامل و علاقه‌مندی به رویکردهای فوق - ثمره این آموزش باید شکل‌گیری منش فلسفی در دانش‌آموزان باشد. در نتیجه چنین فرایندی قابل شکل‌گیری خواهد بود:
باتوجه‌به موضوع بحث و ضرورت حرکت از ریاضیات به فلسفه و ایجاد افقی برای زندگی فلسفه ورزانه برای دانش‌آموزان، ضرورت دارد که به لحاظ کاربردی به پیشنهادهای زیر مورد نظر قرار گیرد:
1-توجه به دروسی چون فلسفه، فلسفه علم، کاربرد ریاضیات در زندگی بشر در برنامه درسی دانشگاهی معلمان خواه رشته ریاضی و خواه علوم تربیتی که به تدریس ریاضیات می پردازند.
2- طراحی و تدوین کتب ریاضی به گونه ای که اصول فلسفی فوق در آن ارائه شود.
3- توجه به رویکردهای متنوع فلسفی به گونه‌ای مکمل نه به مثابه رقیب در آموزش ریاضی. رویکردهایی که هر کدام یک جنبه از واقعیت را مورد توجه قرار داده و تنها در صورت بررسی تمامی جنبه ها رشد و توسعه را ممکن خواهند نمود.
به‌منظور اثربخشی و کارآمدی ایده اصلی این پژوهش یعنی کارکرد فلسفی ریاضیات ضروری است که پژوهش‌های میدانی دراین‌رابطه انجام گیرد. پژوهش‌ها باید به بررسی امور زیر توجه داشته باشند: 1- بررسی فایده بخش بودن و آسیب شناسی چنین آموزشی 2- اینکه در صورت فایده بخش بودن آیا کلاس های ریاضی و معلمان ریاضی دارای چنین ظرفیت و توانی هستند یا خیر 3-.فراهم نمودن بستر و شرایط مناسب برای چنین هدفی.
منابع:
Adibnia, A. (2008). Studing the content of the math book of the fourth year of primary school from the teachers' point of view. Quarterly journal of educational innovations, 1(2), 53-75. [Persian]
Ahmady, Gh., Reyhani, E., & Nakhostin Roohi, N. (2015). The impact of mathematical communication-based training on the mathematical reasoning ability among high-school students. Journal of school psychology and institutions, 4(1), 22-37. [Persian]
Akbayir, K., & Tedikci, S. K. (2022). The Effect of Philosophy Education on Mathematics Success. Education Quarterly Reviews, 5 (2), 192-207.
Alam Al-Hudaei, S.H. (2000). Math anxiety. Journal of Psychology and Educational Sciences, 5(1), 99-119. [Persian]
Alamiyan, V., Lotfinejad, A., & Habibi, M. (2019). The effect of applying Polya's problem solving model in reducing Newman's error of students in solving problems related to tenth grade combinations in mathematics. farhangian University. Quarterly Journal of Education in Basic Sciences, 5 (15), 25-39. [Persian]
Amini Far, E., Sedekpour, B., & valy Nejad, F. (2011). The Roles of Technology in Mathematics learning .journal of technology and education. 5(4), 272-265. [Persian]
Aminzadeh, A., & Hassanabadi, H.R. (2010). Cognitive deficits underlying math diszbility. Journal of developmental psychology.6(23), 187-200. [Persian]
Aristotle. (2006). Metaphysic (translated by Sharaf al-din Khorasani). edition3, Tehran. Hikmat. [Persian]
Asare, A., & Zadshir, M. (2016). Investigating the effect of computer-aided math education on the math attitude of 9th grade female students. Journal of Family and Research, (35), 49-64. [Persian]
Asli, A. & Zsoldos-Marchis, I. (2021). Teaching applications of Mathematics in other disciplines: teachers' opinion and practice. Acta Didactica Napocensia, 14(1), 142-150.
Bagheri, K. (2010). Research approaches and methods in the philosophy of education. Thran. Research Institute of Cultural and Social Studies. [Persian]
Behrangi, M., Abbasian, H., & Zobarjadi Ashti, A. (2015). Model of math education management, an effective strategy on academic progress of secondary school boys. Journal of managing education in organizations, 4(2), 185-205. [Persian]
Bhaskar, & Danermark, (2006). Metatheory, Interdisciplinarity and Disability Research: A Critical Realist Perspective. Scandinavian Journal of Disability Research. 8( 4) 278-297.
Bhaskar, R. (1998). The Possibility of Naturalism a Philosophical Critique of the Contemporary Human Sciences. London.Rutledge.
Bishop, A., Karen, F., & Van Bendegem, J. P. (2007). Philosophical Dimensions in Mathematics Education. Springer Scienc.
Brezovszkya Boglárka, & et al. (2019). Effects of a mathematics game-based learning environment on primary school students' adaptive number knowledge Computers & Education. 128(10), 63-74.
Dawai, M. (2000). Analysis of the content of elementary school math books based on Jerome Bruner's curriculum perspective. Journal of Advances in Cognitive Science, 2 (1), 10-18. [Persian]
Degu, YA. (2020). Imagination in the philosophy of mathematics and its implication for mathematics education. Mathematics teaching research journal 12(2).188- 199.
Demitriadou E., Stavroulia, K. E., & Lanitis, A. (2020). Comparative evaluation of virtual and augmented reality for teaching mathematics in primary education. Education and Information Technologies . 25(2) , 381-401.
Dewey, J. (1942). School and Student. (Mushaf Hamdani, translator). Tehran. Kayhan Printing Co. [Persian]
Dowker, A., Bennett, K., & Smith, L. (2012). Attitudes to Mathematics in Primary School Children. Hindawi Publishing Corporation Child Development Research,8, 1-9.
Ebadi, S. H. (2013). Hidden Curriculum: an Apparent Challenge or an Unexplored Opportunity?. International Journal of Academic Research in Progressive Education and Development. 2. 10.6007/IJARPED/v2-i3/25. [Persian]
Ernest, P. (1993). The Philosophy of Mathematics Education, Taylor & Francis.
Ernest, P. (2005). Constructing Mathematical Knowledge. Taylor & Francis In.
Farahani, A, Arjamandania, A. A., Afrooz, G., & Hassanzadeh, S. (2012). Analysis of the functional content of math books of elementary school students with mental disabilities. Scientific journal, 4 (15), 53-64. [Persian]
Foucault, M. (2024). Nietzsche,Genealogy,History (Translated by Mohammad Saeed Hanaei Kashani). Hermes Book Publishing Company. [Persian]
Friso van-den Bos, I., van der Ven, S.H.G., Kroesbergen, E.H., & van Luit, J.E.H. (2013). Working memory and mathematics in primary school children: A meta-analysis. Educational Research Review, 10(2), 29–44
Hui-Chuan, L., & Tsai, TL. (2020). Philosophy of education for sustainable development in mathematics education: have we got one?. Mathematics teaching research journal ,12(2), 136-142.
Izmirli, I.M. (2020). Some Reflections on the philosophy of Mathematics Education: A Denunciation of the Time and Content Arguments. Pedagogical Research, 5(2), 1-6.
Jabal Ameli, M.S., & Eastwester, N. (2001). Mathematical model of cell deployment plan in flexible production system. International Journal of Industrial Engineering and Production Management, 12(2), 131-140. [Persian]
Kastberg, SE., Lischka, AE., & Hillman, SL. (2022). Supporting Discussion Practice in Mathematics Methods: Applications of Whole-Class Scaffolding. Psychology of Mathematics Education, 47(7), 969-987
khabbazi kenari, M. (2016). Derrida and Husserl : Suspension or Obedience. Philosophy, 13(2), 39-56. [Persian]
Kline, Morris. (2010). Mathematics in Western culture. Translated by Mohammad Danesh. Tehran: Scientific and Cultural Publishing Company (Islamic Revolution Education). [Persian]
Kuznetsova, E. (2019). Probabilistic Ideas and Methods in Undergraduate Mathematics: Axiological Aspects. International electronic journal of mathematics education,14(2), 363-373.
Leung, F. K.S., Graf, K. D., & Lopez-Real, F. J. (2006). Mathematics Education in Different Cultural Traditions A Comparative Study of East Asia and the West. Springer Science Business Media, Inc.
Mackenzie, E., Holmes, K., & Berger, N. (2023). The Role of Mathematics Anxiety and Attitudes in Adolescents. Intentions to Study Senior Science, 3(1), 371-377.
Marsh, C.J. (2013). Integrative Inquiry: The research synthesis (translated by Farida Mashaikh, Lotfali Abedi). Samt Publishing. [Persian]
Mill, J. S. (2011). Individual Liberty and the Power of the Stat (Translated by Mahmoud Sanai). Hermes Book Publishing Company. [Persian]
Moghadam, A., & Sohrabi, T. (2012). Content analysis of elementary math books in terms of cultural components. Journal of Iranian Curriculum Studies,7(25), 115-138. [Persian]
Naqibzadeh, M. A. (2019). A look at the philosophy of education. Tehran: Tahoori Publications. [Persian]
Nash, M., & Lowe, J. (2004) . Language Development for Math’s Activities for Home. David Fulton Publisher.
Pahlevan, A., & Kajbaf, M. B. (2012). Mediating role of classroom processes and school cultur on the relationship between socioeconomic status, and value and beliefs about math learning with math attitude. Quarterly joural of educational innovations ,10(4), 149-168 . [Persian]
Plato (2004). The Laws in Plato’s Woks, Vol.4,( Translated by Mohammadhassan Lotfi). Tehran: Kharazmi. [In Persian]
Plato (2010). Four treatises (Tanslated by M. Sanaie). Tehran: Published by Hermes. [Persian] .
QasemTabar, S. N., Mofidi, F., Zadeh Mohammadi, A., & QasemTabar, S. A. (2011). Effectiveness of Music Training on Preschoolers' Learning of Basic Mathematical Skills, Developmental Psychology. Iranian Psychologists, 7 (27), 245-254. [Persian]
Rafiepour, A. (2015). Potential Capacities and Obstacles of Using “Application and Modeling Approach” in Tertiary Mathematics Education. Journal of Higher Education Curriculum, 6 (12), 173-188. [Persian]
Rahimi, Z., Talaee, E., Reyhani, E., & Fardanesh, H. (2016). A Study on the Efficiency of Education with an Emphasis on Multiple Solutions on the Students' Attitude Towards Math. . Educational Stratgies in medical Sciences, 9 (3), 224-233. [Persian]
Simpson, D. & Stack, S. (1954). Teachers, leaders and school. Southern Illinois university press.
Spindler, R. (2022). Foundational Mathematical Beliefs and Ethics in Mathematical Practice and Education. Journal of Humanistic Mathematics, 12 (2), 49-71.
Sriraman, B., & Englis, L. (2010). Theories of Mathematics Education. Springer Heidelberg Dordrecht London New York.
Üredi, P., & Doganay, A. (2023). Developing the Skill of Associating Mathematics with Real Life Through Realistic Mathematics Education: An Action Research. Journal of Theoretical Educational Science, 16(2), 394-422.
Yan, Y., Suyue, X., & Ma, J. (2020). MaCurriculum system of the philosophy of mathematics education for normal students. Mathematics teaching research journal Special Issue on Philosophy of Mathematics Education Summer , 12 (2) 156-160.
Zare, H., & Mohammadi Ahmadabadi, N. (2011). The effect of metacognition training on students' mathematical problem solving. Journal of New Approaches in Educational adminesteration, 2 (3), 161-176. [Persian]
[1] هیات علمی گروه علوم تربیتی. دانشگاه فرهنگیان. تهران. ایران. نویسنده مسئولmojtabapourkarimi@cfu.ac.ir
[2] هیات علمی گروه آموزش ریاضی. دانشگاه فرهنگیان. تهران. ایران rasoul.eskandari@cfu.ac.ir
[3] - Spindler
[4] - Kastberg, Lischka, Hillman
[5] - Kuznetsova
[6] - Asli & Zsoldos
[7] - Chuan, Tsai
[8] prized body of knowledge
[9] - Yenealem
[10] - Üredi , Doğanay.
[11] - روش قیاسی شیوه ای بود که می توانست چنین انتظاری را تحقق بخشد. یکی از اشکال رایج تفکر در این دوران که تاکنون نیز ادامه داشته استدلال قیاسی است. استدلال قیاسی، یعنی شروع با برخی از حقایق شناخته شده (یا فرضی) و استفاده از قوانین منطق برای رسیدن به برخی نتیجه‌گیری‌ها.
[12] - Canto
[13] - Hermit
[14] - Goedel
[15] Polya-
[16] - Bhaskar
[17] -
