Manuscript ID : 202005091322 Visit : 11113 Page: 37 - 44

Article Type: Original Research

Blind Correction of Lens Aberration Using Modified Zernike Moments

Subject Areas : ICT

1 -
2 -

Received: 2013-08-03 Published : 2019-11-08

Keywords:

Abstract :

The quality of the image formed by an optical system is reduced by aberrations. This paper points out and attempts to correct blindness of lens aberration. Therefore modified Zernike moments were introduced to present lens aberration model within which their coefficients were estimated through poly-spectral analysis. The model parameters are divided into asymmetric and symmetric which are estimated through bi-coherence and tri-coherence respectively. The obtained precision compares favorably to the aberration given by state of the art ploy-spectral analysis and reaches a RMSE of 0.1 pixels.

References:

Full-Text:

فصلنامه علمي- پژوهشي

فناوري اطلاعات و ارتباطات ایران

سال دوم، شماره‌هاي ‌5و 6 ، پاييز و زمستان 1389

صص: 44- 37

$E:\E Drive\logo\iicta Logo0.JPG$

اصلاح نقص ابیراهی لنز دوربین با بهره‌گیری از مومنت‌هاي زرنیک

کامبیز رهبر▪ * کریم فائز **

* دانشگاه آزاد اسلامی واحد تهران مرکز

** استاد، دانشکده مهندسی برق، دانشگاه صنعتی امیرکبیر تهران، ایران

تاريخ دريافت: 20/01/1389 تاريخ پذيرش: 28/05/1389

چکیده

کاهش کیفیت تصویر در یک سامانه اپتیکی تابع پارامتر‌های متفاوتی از قبیل ابیرایی لنز، خطای رقمی سازی و خطای مونتاژ سامانه می باشد. از این میان مقاله حاضر قصد دارد تا به مطالعه ابیرایی لنز پرداخته و نقص ابیرایی آن را اصلاح و جبران نماید. برای این منظور مومنت‌های زرنیک جهت مدل سازی ابیرایی معرفی شده و ضرایب آن جهت تخمین در دو کلاس متقارن و نامتقارن دسته بندی می‌شوند. سپس این ضرایب با بهره‌گیری از آنالیز چند طیفی تخمین زده می‌شوند. جهت این مهم در تخمین ضرایب جملات متقارن از آنالیز tri-coherence و برای ضرایب جملات نامتقارن از آنالیز bi-coherence استفاده شده است. با مد نظر قرار دادن دقت نتایج حاصله در مقام قیاس با نتایج تخمین ابیرایی با بهره‌گیری از آنالیز چند طیفی نشان می‌دهد که روش پیشنهادی می‌تواند به دقت 1/0 پیکسل دست یابد.

کلمات واژگان

ابیرایی لنز، چند جمله ای زرنیک، طیف‌های مرتبه بالاتر

1. مقدمه

▪ نویسنده عهده‌دار مکاتبات (k.rahbar@srbiau.ac.ir)

در شرایط ایده آل در اپتیک هندسی تمامی پرتوهایی که از شیی هدف ساطع می‌شوند پرده تصویر را در یک نقطه قطع می‌کنند. در عمل این مهم اغلب حاصل نمی‌شود. انحراف از مسیر ایده آل برای پرتو‌های ساطع شده و لمس نقطه دیگری روی پرده تصویر تحت عنوان ابیرایی¹ شناخته می‌شود. ابیرایی می‌تواند در دو کلاس کلی طبقه‌بندی شود: ابیرایی تکرنگ² و ابیرایی رنگی³. ابیرایی رنگی به تفرق طول موج‌های مختلف و تغییرات شاخص انکساری⁴ با آن بر می گردد؛ در حالی که ابرایی تکرنگ تنها برای یک طول موج نور رخ می‌دهد.

وجود ابیرایی در یک سامانه بینایی تاثیرات منفی زیادی به دنبال دارد. تاثیرات منفی متاثر از ابیرایی در یک سامانه اپتیکی در دو کلاس کلی قابل طرح هستند. کلاس اول مربوط به بررسی اثر ابیرایی در کاهش کیفیت تصویر حاصله می‌باشد. تصویر آلوده اغلب از ماتی محلی در نواحی مختلف خود رنج می‌برد. کلاس دوم مربوط به بزرگنمایی محلی در نواحی مختلف تصویر است که باعث کشیدگی و جمع شدگی محلی شده و موقعیت و ابعاد تصویر اشیاء را روی پرده تصویر تغییر می‌دهد. تاثیرات منفی، در کلاس اول تاثیرات نامطلوب ابیرایی معمولا پروسه‌های پردازش تصویر را درگیر می‌کند؛ در حالی که در کلاس دوم، تاثیرات نامطلوبی روی پروسه‌های بینایی ماشین از جمله کالیبراسیون سامانه بینایی می گذارد.

کاهش ابیرایی راهکار‌های مختلفی دارد. دسته‌ای از این راهکارها بر استفاده از پرتو‌های راهنمای ویژه‌ای متکی هستند. پرتو‌های مماسی⁵ و پیکانی⁶ نمونه‌ای از این پرتوها هستند. پروسه تشخیص و تعیین ابیرایی توسط این پرتوها اغلب از این مهم بهره می‌برد که پرتوهای تست از نظر هندسی تنها برخی از ابیرایی ها را ظاهر می کنند. با تابش این پرتو ها به داخل سامانه اپتیکی و سنجش میزان انحراف در بازتابش آنها، می‌توان ابیرایی را در یک سامانه تشخیص و میزان آن را تعیین کرد. بنابراین این راهکار ها برای سنجش ابیرایی نیازمند وجود یک آینه فارغ از ابیرایی در پشت سامانه اپتیکی هستند. دسته ای دیگر از راهکار ها پروسه تشخیص و تعیین ابیرایی را صرفا بر اساس تصویر نقش بسته بر پرده تصویر صورت می دهند. این راه کارها نیازی به پرتو‌های ویژه هندسی ندارند. هر چند این روش ها اغلب نتایج ضعیف تری را ارایه می دهند، اما به واسطه عدم نیاز به پرتو‌های ویژه هندسی، امکان سنجش و تعیین ابیرایی را در شرایطی که امکان بهره گیری از پرتو‌های یاد شده وجود نداشته باشد، فراهم می آورند.

روش‌های کاهش ابیرایی که ابیرایی را صرفا بر اساس تصویر نقش بسته بر پرده تصویر مورد سنجش قرار می دهند، می‌توانند در دو کلاس اصلی طبقه‌بندی شوند: 1) روش‌های مبتنی بر مدل⁷ و 2) روش‌های فارغ از مدل⁸. روش‌های فارغ از مدل تاثیر ابیرایی را مستقیما در مدل سامانه بینایی وارد می کنند. بنابراین مدل سامانه بینایی به گونه ای اصلاح می گردد که تاثیر ابیرایی روی تصویر در نتایج آن تاثیری نداشته باشد. در مقابل، روش‌های مبتنی بر مدل به ارائه مدلی مستقل برای تابع ابیرایی پرداخته و مدل سامانه بینایی را تحت تاثیر آن قرار نمی دهند. به عبارتی دیگر فرض می کنند که تصویر حاصله از سامانه بینایی پس از اصلاح توسط مدل ابیرایی، فاقد هر گونه ابیرایی است و می‌تواند به عنوان تصویر ایده آل برای مدل سامانه بینایی مورد استفاده قرار گیرد.

در هر صورت هر یک از کلاس‌های بیان شده دارای مزایا و معایب خاص خود هستند. به عنوان نمونه هر چند روش‌های فارغ از مدل، با وارد کردن پارامتر‌های ابیرایی در مدل سامانه بینایی نیاز به کالیبراسیون مدل ابیرایی را کاهش می دهند، اما جملات اصلاح شده در مدل سامانه بینایی دیگر دارای تعبیر فیزیکی نخواهند بود. بعلاوه از آنجایی که مدل سامانه بینایی می‌تواند بصورت خطی تحقق یابد، وارد کردن پارامتر‌های ابیرایی، مدل سامانه بینایی را غیر خطی می‌کند که این مهم نیز از معایب این کلاس به شمار می آید. بنابراین پروسه کالیبراسیون باید به صورت غیر خطی جهت تخمین پارامتر‌های مدل اعمال شود. این مهم کاربرد هایی را که نیاز به کالیبراسیون بلادرنگ دارند به چالش می کشد.

در مقابل، روش‌های مبتنی بر مدل با مدل سازی مستقل ابیرایی می‌توانند ابیرایی را به صورت موثرتری مدل کنند. مدل سازی مستقل ابیرایی این امکان را فراهم می سازد که مدل سامانه بینایی بتواند به صورت خطی تحقق یابد. ضمنا امکان کنترل بیشتر خطای منتشر شده در نتایج مدل ابیرایی نیز میسر می گردد. در مقابل، مدل‌های مستقل نیاز به پروسه کالیبراسیون خاص خود دارند. در مدل‌های مستقل جملات می‌توانند تعبیر فیزیکی داشته باشند.

پروسه مدل سازی برای روش‌های مبتنی بر مدل، خود نشات گرفته از دو دیدگاه متفاوت است. دیدگاه اول پروسه مدل سازی را بر پایه انواع مدلهای افکنش⁹ انجام می‌دهد. در حالی که دیدگاه دوم مبتنی بر انواع مختلف اثرات ابیرایی بر تصویر می باشد. روش‌های مبتنی بر مدل برگرفته شده از دیدگاه اول، دیدگاه مبتنی بر انواع مدلهای افکنش، چهار مدل کلی را برای افکنش معرفی می کنند که عبارتند از: پرسپکتیو¹⁰، استریوگرفیک¹¹، ایکیوسولید¹² و ارتوگنال¹³. در مدل‌های افکنش یاد شده تفاوت در رابطه هندسی بین ، زاویه ای است که پرتوی یک نقطه حقیقی ساطع شده از پرده شیئی پس از وارد شدن به سامانه اپتیکی با محور اپتیکی می سازد، f فاصله کانونی، و r موقعیت شعاعی تصویر نقطه شیئی روی پرده تصویر است. مدل نهایی ابیرایی از ترکیب خطی وزنی مدل‌های یاد شده حاصل می‌شود. به عنوان نمونه کار اورخوف و همکاران ]1 [ در این گروه قرار می گیرد. ویژگی مهم این دیدگاه امکان پوشش طیف وسیعی از ابیرایی ها، از جمله ابیرایی‌های مربوط به لنز‌های ماکرو¹⁴ تا ابیرایی‌های مربوط به لنز‌های تله¹⁵ می باشد. روش‌های مبتنی بر مدل برگرفته شده از دیدگاه دوم، دیدگاه مبتنی بر انواع اثرات ابیرایی روی تصویر، اغلب از بسط تیلور برای مدل سازی ابیرایی بهره می برند.

به عنوان نمونه گرامفون ]2[ و وینسنت و همکاران ]3[ در کارهای خود مدل دوربین پین هول¹⁶ را به گونه ای با بهره گیری از هموگرافی معکوس پذیر¹⁷ اصلاح کردند که ماتریس پارامترهای داخلی و خارجی دوربین¹⁸، کشیدگی‌های ناخواسته ناشی از بزرگنمایی محلی را در خود توصیف کند. بدین سان پارامتر‌های مدل اصلاح شده پین هول هر چند از ماهیت فیزیکی خود فاصله گرفتند ولی در مقابل پروسه کالیبراسیون دوربین بدون نیاز به کالیبراسیون مجزا برای استخراج پارامتر‌های ابیرایی قابل بهره برداری می باشد. آنها مدل جدید دوربین را مدل پین هول مجازی¹⁹ نامیده اند. کار این دو در نحوه تعیین پارامتر‌های مدل با یکدیگر تفاوت دارد.

همچنین لین و همکاران ]4[ در کار خود به اصلاح ابیرایی مبتنی بر مدل پرداخته اند. ایشان تابع ابیرایی را به کمک بسط تیلور مدل کرده و پارامتر‌های آن را با بهره گیری از این حقیقت تخمین زده‌اند که میزان ابیرایی موثر در مرکز ابیرایی نسبت به دیگر نقاط به شدت کمتر است. بنابراین اگر مرکز ابیرایی مرکز تصویر فرض شود، انتظار داریم برای یک بزرگنمایی²⁰، تفاوت مکانی نقاط الگوهای حول مرکز تنها برابر پارامتر بزرگنمایی باشد و از جابجایی ناشی از کشیدگی و جمع شدگی ابیرایی تاثیر نپذیرد، در حالی که این مهم برای نقاط الگوهای دیگر بخش‌های تصویر این گونه نیست و جابجایی این نقاط علاوه بر پارامتر بزرگنمایی متاثر از ابیرایی نیز می باشد. ایشان از این مهم بهره گرفته‌اند و برای یک بزرگنمایی مشخص، تابع ابیرایی را تخمین زده اند. احمد و همکاران ]5[ و همچنین هارتلی و کنگ ]6[ نیز از مدل یکسانی برای مدل سازی تابع ابیرایی بهره گرفته اند. تفاوت کار ایشان در نحوه تخمین پارامتر ها می باشد.

همان گونه که بیان گردید، برای بازنمایش و مدل سازی ابیرایی موج تکرنگ می‌توان از توسعه چند جمله ای ها بهره جست. هر چند بهره گیری از توسعه چند جمله ای زرنیک پیشتر در راهکارهای مبتنی بر پرتو‌های راهنما مورد استفاده قرار گرفته است، اما بهره گیری از آنها تاکنون در راهکارهایی که صرفا مبتنی بر تصویر نقش بسته بر پرده تصویر طراحی می‌شوند، بر اساس جستجو‌های نگارنده صورت نگرفته است. بهره گیری از توسعه چند جمله ای زرنیک در مقام قیاس با بسط تیلور که در بسیاری از مقالات از آن بهره گرفته شده است ]7-4[ دارای ویژگی هایی است که به استناد آنها استفاده از آن می‌تواند موثرتر واقع گردد. ابتدا اینکه ضرایب زرنیک به صورت فرم کاملی از یک مجموعه متعامد روی دایره واحد تعریف می‌شوند. دوم اینکه چند جمله‌های زرنیک یک بازنمایش متعادل از ابیرایی را نشان می دهند. این به این معنی است که چند جمله‌های زرنیک حاصل از ترکیب جملاتی از سری‌های توانی هستند که به گونه ای بهینه متعادل شده‌اند که واریانس را حول مردمک خروجی کمینه سازند ]8[. سوم اینکه ضریب هر جمله در توسعه چند جمله ای زرنیک خود نشان دهنده انحراف معیار استاندارد نسبت به آن جمله می باشد، که مجموع مربعات این ضرایب واریانس ابیرایی کل را نشان می‌دهد. چهارم اینکه برخلاف مدل‌های مبتنی بر بسط تیلور که نمی‌توانند بازنمایش مناسبی از ابیرایی و اعوجاج محلی باشند ]9[، مدل برگرفته از چند جمله ای زرنیک برای باز نمایش ابیرایی و اعوجاج محلی نیازی به بخش بندی و تکه تکه سازی تصویر ندارد. و در آخر هر چند مدل تیلور برای لنز‌های مرکب مناسب نیست ]10[، مدل زرنیک در مدل سازی لنز‌های مرکب می‌تواند بازدهی خود را حفظ کند.

امروزه ابیرایی لنز با بهره گیری از روشهای مبتنی بر راه کار‌های غیر متریک و مدل‌های خود کالیبره کننده اصلاح می‌شود ]14-11، 2[. این گروه از راه کار ها، اغلب از بردارهای ویژگی در تصویر همانند خطوط مستقیم، دایره ها و نقاط ناپدید شدن²¹ استفاده می کنند.

عدم وجود برخی از بردارهای ویژگی یاد شده و یا کاهش شمار آنها در تصویر، برخی مواقع منجر به شکست فرآیند کالیبره کردن می‌شود. به همین واسطه و به دلیل وجود برخی از ویژگی‌های غیر خطی لنز، استفاده از آنالیز چند طیفی²² در تشخیص و تعیین میزان ابیرایی توجیه پذیر است. اصلاح ابیرایی لنز با بهره گیری از آنالیز چند طیفی bi-coherence پیشتر معرفی شده است ]16-15[. در استفاده از آنالیز چند طیفی خصوصیات منحصر به فردی وجود دارد. اول اینکه با بهره گیری از آنالیز چند طیفی، دیگر نیازی به پروسه تشخیص بردارهای ویژگی یاد شده نخواهد بود. و دوم اینکه پروسه کالیبراسیون تحت تاثیر شکست پروسه‌های استخراج بردارهای ویژگی قرار نمی گیرد.

روش پیشنهادی در این مقاله از مزایای مدل سازی به کمک توسعه ضرایب زرنیک بهره می برد. جملات مدل در دو کلاس کلی ابیرایی‌های متقارن مشتمل بر کوما²³ و اعوجاج²⁴ و ابیرایی‌های نامتقارن شامل ابیرایی کروی²⁵، آستگماتیسم²⁶ و عدم تطبیق²⁷ تقسیم شده و سپس به ترتیب با بهره گیری از آنالیز چند طیفی tri-coherence و bi-coherence تخمین زده می‌شوند. انتظار می رود که مقادیر واقعی ابیرایی لنز به گونه ای تخمین زده شوند که متوسط همبستگی محاسبه شده را کمینه سازند.

دیگر بخش‌های مقاله به این صورت سازمان دهی شده اند: مدل ریاضی ابیرایی لنز در بخش 2 توضیح داده شده است. پروسه کالیبراسیون در بخش 3 شرح داده می‌شود. بخش 4 میزان موثر بودن و دقت راه کار پیشنهادی را بررسی می‌کند. و بخش 5 نتایج را در بر دارد.

2. مدل ریاضی ابیرایی لنز

در ابیرایی موج تکرنگ²⁸، به مختصات شعاعی و زاویه گردشی می‌تواند به صورت یک توسعه چند جمله ای در فرم زیر باز نمایش شود.

که در این رابطه ضرایب توسعه زرنیک و چند جمله ای زرنیک است. از طرفی دیگر اگر پرتو‌های نور را به عنوان سیگنال و لنز را به عنوان یک سیستم بپذیریم، کاملا مشهود است که به واسطه تفاوت قطر در نواحی مختلف لنز و یا عدم یکنواختی چگالی مواد سازنده لنز، پرتو‌های ورودی در این سیستم دچار تاخیر‌های متفاوتی می‌شوند. بنابراین ابیرایی برای پرتو هایی که با هم وارد لنز می‌شوند علاوه بر انحراف در نقاط مختلف لنز، تحت تاثیر تاخیر هم قرار می گیرد. بدینسان تابع ابیرایی موج تکرنگ را که تاخیر‌های زمانی در آن منظور شده، تحت عنوان تابع ابیرایی فاز²⁹ می شناسند. تابع ابیرایی فاز در فرم جملات چند جمله ای دایره ای زرنیک می‌توانند در فرم زیر توسعه یابد.

(1)

که در این رابطه نیز تابع دلتای کرونکر، و اعداد صحیح مثبت هستند به گونه ای که و همچنین

(2)

یک تابع چند جمله ای با درجه روی شامل جملات ، و است. ، ضرایب توسعه زرنیک به صورت زیر خواهند بود.

(3)

(4)

در عمل برای بازنمایش تابع ابیرایی موج از تعداد محدود از چند جمله ای‌های زرنیک استفاده می‌شود. بنابراین می‌توان تابع ابیرایی موج تکرنگ را به صورت زیر خلاصه کرد.

جدول 1 - چند جمله ای زرنیک تا مرتبه شعاعی 4
مرتبه ()	فرکانس ()		مفهوم
0	0	1	مقدار ثابت (Piston)
1	1-		x–کجی (Tilt)
1	1		y–کجی
2	2-		آستیگماتیسم (45± درجه)
2	0		انحنای عرصه (Field curvature)، عدم تطبیق (Defocus)
2	2		آستیگماتیسم (0 یا 90 درجه)
3	3-		y– تریفویل (Trefoil)
3	1-		y– کوما (Coma)
3	1		x– کوما
3	3		x– تریفویل
4	4-		y– کوادریفویل (Quadrafoil)
4	2-		y - آستیگماتیسم مرتبه دوم
4	0		ابیرایی کروی (Spherical)، عدم تطبیق (Defocus)
4	2		x - آستیگماتیسم مرتبه دوم
4	4		x - کوادریفویل
…	…	…	…

که در این رابطه خطای مدل سازی می باشد. جدول 1 باز نمایشی از چند جمله ای‌های زرنیک تا مرتبه شعاعی 4 را نشان می‌دهد.

3. پروسه کالیبراسیون

شکل 1 اجزای پایه یک سامانه اپتیکی متقارن را توضیح می‌دهد. در یک چنین سامانه ای، یک پرتو که از مردمک خروجی خارج می‌شود پرده تصویر را در مختصات قطع می‌کند. عموما، این پرتو از نقطه ایده آل خود روی پرده تصویر نمی گذرد. این مهم در شکل 2 به تصویر کشیده شده است. می‌توان در نظر گرفت که اگر نقطه انحراف در شرایط عمل باشد و نقطه ایده آل در مختصات ، آنگاه نقطه تقاطع با پرده تصویر در مختصات خواهد بود.

(5)

با در نظر گرفتن تابع ابیرایی در مختصات کارتزین، و می‌توانند به فرم تابع موج ابیرایی تکرنگ بصورت زیر تخمین زده شوند.

(6)

	(7)

شکل 1 - اجزای پایه یک سامانه اپتیکی متقارن

شکل 2- پرده تصویر و مختصه پرتویی ابیرایی یافته نسبت به شرایط ایده آل

از طرف دیگر با توجه به این که انحراف پرتو ابیراهی شده نسبت به مکان ایده آل خود روی پرده تصویر، با دیفرانسیل محلی جبهه ابیراهی موج تکرنک در آن نقطه متناسب است، داریم:

که فاصله کانونی لنز می باشد.

با مشتق گیری از معادله 7 نسبت به و و جایگزین کردن آن در معادله 8، رابطه 9 نتیجه می‌شود.

(8)

معادله 9 مقادیر ابیرایی را در قالب ابیرایی زرنیک توصیف می‌کند. ضرایب زرنیک می‌توانند با بهره گیری از آنالیز چند طیفی تخمین زده شوند.

اجزای پرتو ابیرایی می‌توانند در دو کلاس کروماتیک و آستیگماتیک طبقه‌بندی شوند. از آنجایی که اجزای کروماتیک و آستیگماتیک کوپل همدیگر نیستند لذا نمی‌توانند برای متعادل کردن یکدیگر بکار روند. اجزای آستیگماتیک شامل ابیرایی کروی، آستیگماتیسم و عدم تطبیق بوده و ابیرایی کروماتیک مشتمل بر کوما و اعوجاج است. بعلاوه چند جمله ای‌های زرنیک نیز می‌توانند برای ابیرایی‌های متقارن (ابیرایی‌های کروماتیک) و همچنین ابیرایی‌های نامتقارن (ابیرایی‌های آستیگماتیک) در دو کلاس متقارن و نامتقارن دسته بندی شوند. از طرفی می دانیم که آنالیز چند طیفی tri-coherence ذاتا به سیگنال‌های متقارن حساس است و همچنین آنالیز چند طیفی bi-coherence به سیگنال‌های نامتقارن [17]. بنابراین بهره گیری از آنالیز چند طیفی tri-coherence و bi-coherence به ترتیب برای تخمین پارامتر‌های کلاس کلی ابیرایی‌های متقارن و نامتقارن قابل توجیه است. و انتظار می رود که مقادیر واقعی ابیرایی لنز را بتواند به گونه ای مناسب تر تخمین زده و متوسط همبستگی محاسبه شده را کمینه سازند.

با توجه به مطالب یاد شده الگوریتم کلی اصلاح ابیرایی تصویر به صورت زیر پیشنهاد می‌شود:

1. انتخاب جملات زرنیک متناظر با ابیرایی‌های مورد نظر

2. انتخاب مقادیر پیش فرض (یا تصادفی) برای ضریب جملات زرنیک

3. محاسبه میزان انحراف پرتو ابیرایی شده نسبت به مکان ایده آل خود روی پرده تصویر به کمک چند جمله ای زرنیک و ضرایب آن

4. جبران ابیرایی تصویر به کمک میزان انحراف پرتو ابیرایی شده نسبت به مکان ایده آل آن

5. محاسبه مقادیر آنالیز چند طیفی tri-coherence و bi-coherence روی تصویر

6. اصلاح ضرایب جملات زرنیک

7. آیا مقادیر آنالیز چند طیفی به اندازه کافی کوچک شده‌اند؟ بله، برو به 8 - خیر، برو به 3

8. پایان

4. نتایج تجربی

به منظور اعتبار سنجی راه کار پیشنهادی، شبیه سازی کامل رایانه ای به منظور مقایسه بین راه کار‌های مبتنی بر بسط تیلور و راه کار پیشنهادی صورت پذیرفته است. برای این مهم یک تصویر مصنوعی فرکتالی به صورت مجموع دو سینوئید با زاویه تصادفی ، فاز تصادفی ، دامنه و فرکانس در فرم زیر تولید شده است.

(9)

اندازه تصویر حاصله پیکسل می باشد که در اینجا در نظر گرفته شده است. ابیرایی برای تصویر مفروض در قالب ضرایب زرنیک در جدول 2 خلاصه شده است. همچنین این جدول مقادیر تخمین را نیز برای ضرایب زرنیک به کمک روش پیشنهادی نشان می‌دهد.

(10)

جذر مجموع مربعات خطا RMSE برای راه کار پیشنهادی در مقایسه با مقادیر مبتنی بر بسط تیلور در کنار بار محاسباتی آنها در جدول 3 آماده است. لازم به ذکر است که ضرایب تیلور به طریق مشابه ای که در ]15[ گزارش شده است با بهره گیری از bi-coherence تخمین زده شده‌اند. همچنین بار محاسباتی برای کد متلب نسخه 2011a تحت رایانه مجهز به پردازنده Intel Core 2 Duo T9550@2.67GHz و 4 گیگابایت حافظه محاسبه گردیده است. با مطالعه جدول 3 کاملا مشهود است که ضرایب زرنیک از دقت قابل ملاحظه ای برخوردار می باشند. بعلاوه بهره گیری از مومنت‌های زرنیک از نظر بار محاسباتی نیز بسیار موثرتر است. این مهم می‌تواند با در نظر گرفتن تعامد بین جملات در چند جمله ای زرنیک توجیه شود. در صورتی که عدم تعامد در جملات تیلور تکرار بیشتری را برای رسیدن به جذر مجموع مربعات خطای مورد نظر نیاز دارد.

جدول 2 - ابیرایی‌های مصنوعی و تخمین آنها به کمک روش پیشنهادی
مرتبه ()	فرکانس ()		مقادیر از پیش تعریف	مقادیر تخمینی
0	0	مقدار ثابت	5141/0-	5141/0-
1	1-	x - کجی	3545/0-	3546/0-
1	1	y - کجی	4432/0	4434/0
2	2-	آستیگماتیسم (45± درجه)	3619/0-	3620/0-
2	0	انحنای عرصه، عدم تطبیق	2560/0-	2562/0-
2	2	آستیگماتیسم (0 یا 90 درجه)	0000/0	0000/0
3	1-	y - کوما	0002/0-	0003/0-
3	1	x - کوما	1570/0	1574/0
4	0	ابیرایی کروی، عدم تطبیق	0006/0-	0011/0-

جدول 3 - مقایسه بین دقت تخمین مبتنی بر توسعه ضرایب زرنیک با بسط تیلور و همچنین بار محاسباتی
راه کار	RMSE	بار محاسباتی
بسط تیلور (مرتبه 4)	5480/0	097744/163ثانیه
زرنیک (اپتیک مرتبه 3)	14972/0	877271/10 ثانیه

همان گونه که پیشتر به آن اشاره شد، برای هر ضریب ابیرایی ، نسبت به آن ابیرایی یک انحراف معیار استاندارد وجود دارد. از آنجایی که ضرایب توسعه مشخص شده‌اند می‌توان واریانس تابع ابیرایی کل را به سادگی به صورت زیر محاسبه کرد ]8[.

مولفه به عنوان جذر مجموع مربعات خطای جبهه موج ابیرایی³⁰ شناخته می‌شود که برای آزمایش جاری به صورت زیر می‌باشد.

(11)

جدول 4 - خطای جبهه موج برای تصویر تست مصنوعی
پارامترهای تست	80755231/0
پارامتر‌های تخمین	80810203/0

جدول 4 نشان می‌دهد تا چه اندازه تخمین مبتنی بر زرنیک به مقادیر پیش تعریف در تصویر تست نزدیک است.

در کنار شبیه سازی رایانه ای، تجربه واقعی نیز با بهره گیری از دوربین SHC-735 سامسونگ مجهز به لنز SLA-3580DN با فاصله کانونی متغیر (mm 0/8-5/3) صورت گرفته است. خروجی دوربین به کمک Pinnacle 510-USB rev 2.0 در قالب ماتریس با رزولوشن 480×640 رقمی شده است. در این آزمایش تجربی دو تصویر برای اعتبار سنجی نظری ارائه شده است. شکل 3(ب) و (د) تصویر بدون ابیرایی را نشان می‌دهد که از تصویر تست متناظرشان که دارای ابیرایی می باشند (شکل 3 (الف) و (ج)) بازیابی شده اند. اعوجاج ها نزدیک به لبه‌های تصویر کاملا مشهود است.

(ب)

1.tif

(الف)

2.tif

(د)

3.tif

(ج)

4.tif

شکل 3- آزمایش جهت اعتبار سنجی نظری. (ب) و (د) تصاویر بازیابی شده از نمونه‌های متناظرشان در (الف) و (ج) با بهره گیری از مومنت‌های زرنیک هستند. ابیرایی در تصویر چاپگر در تصویر (الف) نسبت به (ب) کاملا مشهود است. در تصویر (ج) نیز ابیرایی در بالا و پایین کاملا دیده می‌شود. همچنین ملاحظه می‌شود که مرکز تصویر (ج) نسبت به (د) دارای بزرگنمایی غیر طبیعی است.

جهت ایجاد امکان مقایسه بین راه کار پیشنهادی و روش مبتنی بر بسط تیلور، خطوط افقی در تصویر 4 (ب) به منظور ارزیابی خطای ابیرایی و مقایسه با ابیرایی باقیمانده، پس از تخمین به کمک سری تیلور مورد بهره برداری قرار گرفته اند. برای هر خط اصلاحی (شکل 4 (الف))، دقت زیر پیکسل ها برای لبه ها با بهره گیری از الگوریتم دیورنی ]18[ محاسبه شده است. سپس خط رگرسیون آنها محاسبه و فاصله بین نقاط لبه و خط رگرسیون در قالب جذر مجموع مربعات خطا (RMSE) به عنوان خطای اندازه گیری ارائه گردیده است. شکل 4 (ج) بخشی از شکل 4 (الف) را به صورت بزرگتر نشان می‌دهد. ابیرایی برای ناحیه بزرگ شده کاملا مشهود است. در حالی که برای نواحی مرکزی در تصویر 4 (ج) خط رگرسیون (خط راست سفید رنگ) روی مرز مربعات سیاه و سفید قرار گرفته است، در حواشی تصویر 4 (ج) مخصوصا سمت چپ، انحراف به وضوح دیده می‌شود. جدول 5 جذر مجموع مربعات خطا را برای شش خط افقی نشان می‌دهد. نتایج نشان از بهبود قابل ملاحظه ای در روش پیشنهادی نسبت به بسط تیلور دارند. متوسط جذر مجموع مربعات خطا برای تکنیک مبتنی بر سری تیلور 3094/0 می باشد در حالی که یرای تکنیک مبتنی بر چند جمله ای زرنیک 0707/0 می باشد که نشان از بهبود حدود 2/0 در جذر مجموع مربعات خطا دارد.

(ب)

6.tif

(الف)

5.tif

(ج)

5.tif

شکل 4- آزمون تجربی برای اعتبار سنجی رقمی. تصویر (ب) تصویر بازیابی شده از روی تصویر (الف) را با بهره گیری از مومنت‌های زرنیک نشان می‌دهد. ابیرایی برای ناحیه بزرگ شده در (الف) کاملا مشهود است. در حالی که برای نواحی مرکزی در تصویر (ج) خط رگرسیون (خط راست سفید رنگ) روی مرز مربعات سیاه و سفید قرار گرفته است؛ در حواشی تصویر (ج) مخصوصا سمت راست، انحراف به وضوح دیده می‌شود.

جدول 5 - مقایسه خطا بین مدل زرنیک و تیلور برای تصویر تست 3
	روش پیشنهادی مبتنی بر زرنیک (RMSE)	روش مبتنی بر سری تیلور (RMSE)
خط اول از بالا	1317/0	5012/0
خط دوم	0732/0	3306/0
خط سوم	0094/0	1012/0
خط چهارم	0127/0	1340/0
خط پنجم	0680/0	2981/0
جط ششم	1301/0	4918/0

5. نتیجه‌گیری

این مقاله به معرفی روش جدیدی را می پردازد که با بهره گیری از چند جمله ای زرنیک، ابیرایی لنز را مدل می‌کند. جمله‌های این مدل به دو کلاس متقارن و نامتقارن تقسیم می‌شوند. به منظور تعیین پارامتر‌های مدل از آنالیز چند طیفی بهره گرفته شده است. پارامتر‌های جملات متقارن و نامتقارن به ترتیب با tri-coherence و bi-coherence تخمین زده می‌شوند. نتایج آزمایشگاهی، دقت روش پیشنهادی را تایید می‌کند.

6. مراجع

[1] V. Orekhov, B. Abidi, C. Broaddus, M. Abidi, “Universal camera calibration with automatic distortion model selection,” IEEE International Conference on Image Processing (ICIP'07), Oct. 19 2007, San Antonio, TX, USA.

[2] R. Grompone von Gioi, P. Monasse, J.-N. Morel, Z.Tang, “Towards High-precision Lens Distortion Correction,” ICIP2010, Proceeding of 2010 IEEE 17th International Conference on Image Processing, Sep 26-29, (2010), 4237-4241, Hong Kong.

[3] C.Y. Vincent, T. Tjahajadi, “Multiview camera-calibration framework for nonparametric distortion removal,” IEEE Transactions on Robotics, Vol. 21, p.p. 1004 - 1009, Oct. 2005

[4] C. Lin, S. Chang, Y. Lay, M. Yeh, C. Lee, “Automatic distortion measurement system with reticle positioning for enhance accuracy,” Elsevier: Measurement, 41 (2008) 960-969.

[5] M. Ahmed, A. Farag, “Nonmetric Calibration of Camera Lens Distortion: Differetial Methods and Robust Estimation”, IEEE Transaction on Image Processing, Vol. 14, No. 8, Aug 2005.

[6] R. Hartley, S. Bing Kang, “Parameter-Free Radial Distortion Correction with Center of Distortion Estimation,” IEEE Transaction on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. 29, No. 8, Aug 2007.

[7] S. Aritan, “Efficiency of non-linear lens distortion models in biomechanical analysis of human movement,” Elsevier: Measurement 43 (2010) 739-746

[8] V.N. Mahajan, “Optical Imaging and Aberration,” SPIE Press, 1998.

[9] C. Ricolf-Viala, A. Sanchez Salmeron, “Correcting non-linear lens distortion in cameras without using a model,” Elsevier: Optics & Laser Technology, 42 (2010) 628-639.

[10] D. Trodoff, D.W. Murray, “The impact of radial distortion on the self-calibration of rotating cameras,” Elsevier: Computer Vision and Image Understanding, 96 (2004) 17-34.

[11] C. Hughes, R. Mc/feely, P. Denny, M. Glavin, E. Jones, “Equidistant fish-eye perspective with application in distortion centre estimation,” Elsevier: Image and Vision Computing, 28 (2010) 538-551.

[12] F. Devernay, O. Faugeras, “Straight lines have to be straight,” Machine Vision and Applications (2001) 13: 14-24.

[13] J. Lin, M. Xing, D. Sha, D. Su, T. Shen, “Distortion measurement of CCD imaging system with short focal length and large-field objective,” Elsevier: Optics and Lasers in Engineering, 43 (2005) 1137-1144.

[14] J. Tardif, P. Strum, M. Trudeau, S. Roy, “Calibration of Cameras with Radially Symmetric Distortion,” IEEE Transaction on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. 31, No. 9, Sep 2009.

[15] H. Farid, A. Popescu, “Blind Removal of Lens Distortion,” Journal of the Optical Society of America A, 18 (9) (2001) 2072-2078.

[16] W. Yu, “Image-based lens geometric distortion correction using minimization of average bicoherence index,” Elsevier: Pattern Recognition, 37 (2004) 1175-1187.

[17] Fackrell, J.W.A., McLaughlin, S., Collis, W.B., White, P.R., "Nonlinearity Detection For Condition Monitoring Using Higher-Order Statistics," IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 1994.

[18] F. Devernay, “A Non-Maxima Suppression Method for Edge Detection with Sub-Pixel Accuracy,” INRIA Rapport de recherche, No. 2724, November 1995.

[1] Aberration

[2] Monochromatic aberration

[3] Chromatic aberration

[4] Refraction

[5] Tangential rays

[6] Sagittal rays

[7] Model based method

[8] Non-parametric methods

[9] Projection

[10] Perspective

[11] Stereographic

[12] Equisolid

[13] Orthogonal

[14] Macro lenses

[15] Tele lenses

[16] Camera pinhole model

[17] Invertible homography

[18] Camera intrinsic and extrinsic matrix

[19] Virtual pinhole model

[20] Zoom

[21] Vanishing points

[22] Poly-spectral analysis

[23] Coma

[24] Distortion

[25] Spherical aberration

[26] Astigmatism

[27] Defocus

[28] Monochromatic wave aberration

[29] Phase aberration function

[30] Wave-front aberration

Share To

Article Url

Blind Correction of Lens Aberration Using Modified Zernike Moments

Rimag

Links

Related Centers

Technical Support

Official pages