طراحی کنترل کنند ه ي اجماع توزیع شده مبتنی بر رویت گر براي سیستم هاي چندعاملی سینگولار رهبر-پیرو در حضور عیب حسگر
محورهای موضوعی : فناوری اطلاعات و ارتباطاتسعید پورمیرزایی 1 , حمیدرضا احمدزاده 2 , مسعود شفیعی 3
1 - دانشگاه صنعتی امیرکبیر(پلی تکنیک تهران)
2 - دانشگاه صنعتی امیرکبیر(پلی تکنیک تهران)
3 - دانشگاه صنعتی امیرکبیر(پلی تکنیک تهران)
کلید واژه: سیستمهاي چندعاملی , سیستمهاي سینگولار, تخمین عیب حسگر, کنتر لکننده تحمل پذیرعیب توزیعشده,
چکیده مقاله :
در این مقاله براي نخستین بار، مسئله ي تخمین ع یب حسگر و طراحی یک سیستم کنترل تحم لپذ یر ع یب توزیع شده به منظور اجماع رهبر پ - یرو در سیستمهاي چندعالم ی سینگولار همگن مورد بررسی قرار میگیرد. ابتدا، یک مدل الحاقی براي سیستم مورد مطالعه پیشنهاد م یشود. نشان داده شده است که مدل الحاقی پیشنهادشده در این مقاله بر خلاف برخی کارهاي تحقیقاتی مشابه منظم و بدون ضربه است . بر اساس این مدل، متغیرهاي حالت سیستم و ع یب حسگر با طراحی یک رویتگر سینگولار توزیع شده به صورت همزمان تخمین زده م یشوند. رویتگر پ یشنهادشده قابلیت تخمین ع یبهاي متغیر با زمان را نیز دارا میباشد . سپس، یک کنتر لکنندهي توزیعشده به منظور اجماع رهبر پ - یرو با استفاده از تخمین حال ت هاي سیستم و تخمین ع یب حسگر انجام شده؛ طراحی میشود . شروط کافی براي پایداري دینامیک خطاي تخمین حالت و دینامیک خطاي عدم توافق بر حسب ترمهاي نامساوي ماتریسی خطی بدست میآید و با حل آنها، ماتریسهاي بهره رویتگر و کنتر لکننده بدست میآیند. همه نامساويهاي خطی ماتریسی موجود MATLAB در مقاله با استفاده از نرمافزار حل شده است. در نهایت، صحتسنجی و کارایی سیستم کنترل پیشنهادي به منظور اجماع رهبر پ - یرو سیستم هاي چندعاملی سینگولار در معرض عیب حسگر با استفاده از شبیه سازي رایانهاي نشان داده میشود. نتایج شبی هسازي نشان میدهد که استراتژي کنترل پیشنهادي در مقابله با اثر عیب سنسور در سیستمهاي سینگولار چندعاملی کارا میباش .
In this paper, the problem of sensor fault estimation and designing of a distributed fault-tolerant controller is investigated to guarantee the leader-follower consensus for homogeneous singular multi-agent systems for the first time. First, a novel augmented model for the system is proposed. It is shown that the proposed model is regular and impulse-free unlike some similar research works. Based on this model, the state and sensor fault of the system are simultaneously estimated by designing a distributed singular observer. The proposed observer also has the ability to estimate time-varying sensor fault. Then, a distributed controller is designed to guarantee the leader-follower consensus using estimation of state and sensor fault. The sufficeient conditions to ensure the stability of the observer dynamic and consensus dynamic are drived in terms of linear matrix inequalities (LMIs). The gains of observer and controller are computed by solving these conditions with MATLAB software. Finally, the validation and efficiency of the proposed control system for the leader-follower consensus of singular multi-agent systems exposed to sensor faults is illustrated by computer simulations. The simulation results show that the propsed control strategy deeling to the sensor falut in the singular multi-agent systems is effective.
منابع و مأخذ
A. A. Belov, O. G. Andrianova, and A. P. Kurdyukov, "Control of discrete-time descriptor systems," Cham: Springer International Publishing, 2018.
P. Stechlinski, M. Patrascu, and P. I. Barton, "Nonsmooth differential-algebraic equations in chemical engineering," Computers & Chemical Engineering, vol. 114, pp. 52-68, 2018.
M. De la Sen, A. Ibeas, and S. Alonso Quesada, "On the Reachability of a Feedback Controlled Leontief-Type Singular Model Involving Scheduled Production, Recycling and Non Renewable Resources," Mathematics, vol. 9, p. 2175, 2021.
T. Kaczorek, "Singular fractional linear systems and electrical circuits," 2011.
I. Zamani, M. Shafiee, and A. Ibeas, "Switched nonlinear singular systems with time ‐ delay: Stability analysis," International Journal of Robust and Nonlinear Control, vol. 25, pp. 1497- 1513, 2015.
G.-R. Duan, Analysis and design of descriptor linear systems vol. 23: Springer Science & Business Media, 2010.
E. Arefinia, H. A. Talebi, and A. Doustmohammadi, "A robust adaptive observer for a class of singular nonlinear uncertain systems," International Journal of Systems Science, vol. 48, pp. 1404- 1415, 2017.
M. Davoodi, N. Meskin, and K. Khorasani, "Simultaneous fault detection and consensus control design for a network of multi-agent systems," Automatica, vol. 66, pp. 185-194, 2016.
J. Xi, M. He, H. Liu, and J. Zheng, "Admissible output consensualization control for singular multi-agent systems with time delays," Journal of the Franklin Institute, vol. 353, pp. 4074-4090, 2016.
Y. Cong, Z. Feng, H. Song, and S. Wang, "Containment control of singular heterogeneous multi-agent systems," Journal of the Franklin Institute, vol. 355, pp. 4629-4643, 2018.
X. Liu, Y. Xie, F. Li, P. Shi, W. Gui, and W. Li, "Formation control of singular multiagent systems with switching topologies," International Journal of Robust and Nonlinear Control, vol. 30, pp. 652-664, 2020.
R. V. Beard, "Failure accomodation in linear systems through self reorganization," Massachusetts Institute of Technology, 1971.
Z. Gao and D. W. Ho, "State/noise estimator for descriptor systems with application to sensor fault diagnosis," IEEE transactions on signal processing, vol. 54, pp. 1316-1326, 2006.
M. Wang and T. Liang, "Adaptive Kalman filtering for sensor fault estimation and isolation of satellite attitude control based on descriptor systems," Transactions of the Institute of Measurement and Control, vol. 41, pp. 1686-1698, 2019.
Y. Liu, Y. Ma, and Y. Wang, "Reliable finite-time sliding-mode control for singular time-delay system with sensor faults and randomly occurring nonlinearities," Applied Mathematics and Computation, vol. 320, pp. 341-357, 2018.
A. H. Hassanabadi, M. Shafiee, and V. Puig, "Sensor fault diagnosis of singular delayed LPV systems with inexact parameters: an uncertain system approach," International Journal of Systems Science, vol. 49, pp. 179-195, 2018.
F. Pourdadashi Komachali and M. Shafiee, "Sensor fault diagnosis in fractional-order singular systems using unknown input observer," International Journal of Systems Science, vol. 51, pp. 116-132, 2020.
B. Rabaoui, H. Hamdi, N. BenHadj Braiek, and M. Rodrigues, "Descriptor observer‐based sensor and actuator fault tolerant tracking control design for linear parameter varying systems," International Journal of Robust and Nonlinear Control, vol. 31, pp. 8329-8352, 2021.
L. Chen, Y. Zhao, S. Fu, M. Liu, and J. Qiu, "Fault estimation observer design for descriptor switched systems with actuator and sensor failures," IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers, vol. 66, pp. 810-819, 2018.
H. K. Alaei and A. Yazdizadeh, "Robust output disturbance, actuator and sensor faults reconstruction using H∞ sliding mode descriptor observer for uncertain nonlinear boiler system," International Journal of Control, Automation and Systems, vol. 16, pp. 1271-1281, 2018.
C. Gao, Z. Wang, X. He, and H. Dong, "Fault-tolerant consensus control for multi-agent systems: An encryption decryption scheme," IEEE Transactions on Automatic Control, 2021.
L. Qin, X. He, and D. Zhou, "Fault tolerant cooperative output regulation for multi-vehicle systems with sensor faults," International Journal of Control, vol. 90, pp. 2227-2248, 2017.
Y. Sun, Y. Xia, J. Zhang, and D.-W. Ding, "Adaptive fault-tolerant output regulation of linear multi-agent systems with sensor faults," IEEE Access, vol. 8, pp. 159440-159448, 2020.
M. Gao, S. Yang, and L. Sheng, "Distributed fault estimation for time varying multi-agent systems with sensor faults and partially decoupled disturbances," IEEE Access, vol. 7, pp. 147905-147913, 2019.
K. Zhang, B. Jiang, X. Yan, and J. Xia, "Distributed fault diagnosis of multi-agent systems with time-varying sensor faults," ICIC Express Letters, vol. 14, pp. 129- 135, 2020.
E. Mousavinejad, X. Ge, Q.-L. Han, T. J. Lim, and L. Vlacic, "An Ellipsoidal Set Membership Approach to Distributed Joint State and Sensor Fault Estimation of Autonomous Ground Vehicles," IEEE/CAA Journal of Automatica Sinica, vol. 8, pp. 1107-1118, 2021.
W. Shi, W. Chen, L. Gao, and J. Hu, "Adaptive fault-tolerant tracking control for singular multi-agent systems," in 2017 11th Asian Control Conference (ASCC), 2017, pp. 2358-2363.
X. Zhang, J. Dong, and L. Li, "Fault Tolerant Consensus of Fractional Order Singular Multi-Agent Systems With Uncertainty," Ieee Access, vol. 8, pp. 68762-68771, 2020.
H. Fan, K. Zheng, L. Liu, B. Wang, and W. Wang, "Event-triggered finite-time consensus of second-order leader-follower multiagent systems with uncertain disturbances," IEEE Transactions on Cybernetics, 2020.
L. Dai, Singular control systems: Springer, 1989.
W. Ren and R. W. Beard, Distributed consensus in multi-vehicle cooperative control vol. 27: Springer, 2008.
J. Y. Ishihara and M. H. Terra, "On the Lyapunov theorem for singular systems," IEEE transactions on Automatic Control, vol. 47, pp. 1926-1930, 2002.
دو فصلنامه علمي فناوري اطلاعات و ارتباطات ایران | سال پانزدهم، شماره‌هاي 55 و 56، بهار و تابستان 1402 صفحات:207 الی 222 |
|
Design of Distributed Consensus Controller for Leader-Follower Singular Multi-Agent Systems in the Presence of Sensor Fault
Saeed Poormirzaei*, Hamid Reza Ahmadzadeh**, Masoud Shafiee***
Master's student, Faculty of Electrical Engineering, Amirkabir University of Technology, Tehran*
**Ph.D. student, Faculty of Electrical Engineering, Amirkabir University of Technology, Tehran
*** Professor, Faculty of Electrical Engineering, Amirkabir University of Technology, Tehran
Abstract
In this paper, the problem of sensor fault estimation and designing of a distributed fault-tolerant controller is investigated to guarantee the leader-follower consensus for homogeneous singular multi-agent systems for the first time. First, a novel augmented model for the system is proposed. It is shown that the proposed model is regular and impulse-free unlike some similar research works. Based on this model, the state and sensor fault of the system are simultaneously estimated by designing a distributed singular observer. The proposed observer also has the ability to estimate time-varying sensor fault. Then, a distributed controller is designed to guarantee the leader-follower consensus using estimation of state and sensor fault. The sufficeient conditions to ensure the stability of the observer dynamic and consensus dynamic are drived in terms of linear matrix inequalities (LMIs). The gains of observer and controller are computed by solving these conditions with MATLAB software. Finally, the validation and efficiency of the proposed control system for the leader-follower consensus of singular multi-agent systems exposed to sensor faults is illustrated by computer simulations. The simulation results show that the propsed control strategy deeling to the sensor falut in the singular multi-agent systems is effective.
Keywords: Multi-agent systems, Singular systems, Sensor fault estimation, Distributed Fault-tolerant Control.
طراحی کنترل‌کننده‌ی اجماع توزیعشده مبتنی بر رویتگر برای سیستم‌های چندعاملی سینگولار رهبر-پیرو در حضور عیب حسگر
سعید پورمیرزایی*×، حمیدرضا احمدزاده**، مسعود شفیعی***
* دانشجوی کارشناسی ارشد، دانشکده مهندسي برق، دانشگاه صنعتي امیرکبیر، تهران
** دانشجوی دکتری، دانشکده مهندسي برق، دانشگاه صنعتي امیرکبیر، تهران
*** استاد، دانشکده مهندسي برق، دانشگاه صنعتي امیرکبیر، تهران
تاریخ دریافت:20/03/1401 تاریخ پذیرش:22/04/1401
نوع مقاله:پژوهشی
چكیده
در این مقاله برای نخستین بار، مسئله‌ی تخمین عیب حسگر و طراحی یک سیستم کنترل تحمل‌پذیر عیب توزیعشده به منظور اجماع رهبر-پیرو در سیستم‌های چندعاملی سینگولار همگن مورد بررسی قرار میگیرد. ابتدا، یک مدل الحاقی برای سیستم مورد مطالعه پیشنهاد میشود. نشان داده شده است که مدل الحاقی پیشنهادشده در این مقاله بر خلاف برخی کارهای تحقیقاتی مشابه منظم و بدون ضربه است. بر اساس این مدل، متغیرهای حالت سیستم و عیب حسگر با طراحی یک رویتگر سینگولار توزیعشده به صورت همزمان تخمین زده می‌شوند. رویتگر پیشنهادشده قابلیت تخمین عیب‌های متغیر با زمان را نیز دارا میباشد. سپس، یک کنترل‌کننده‌ی توزیعشده به منظور اجماع رهبر-پیرو با استفاده از تخمین حالت‌های سیستم و تخمین عیب حسگر انجام شده؛ طراحی میشود. شروط کافی برای پایداری دینامیک خطای تخمین حالت و دینامیک خطای عدم توافق بر حسب ترم‌های نامساوی ماتریسی خطی بدست میآید و با حل آنها، ماتریس‌های بهره رویتگر و کنترل‌کننده بدست میآیند. همه نامساوی‌های خطی ماتریسی موجود در مقاله با استفاده از نرمافزار MATLAB حل شده است. در نهایت، صحتسنجی و کارایی سیستم کنترل پیشنهادی به منظور اجماع رهبر-پیرو سیستم‌های چندعاملی سینگولار در معرض عیب حسگر با استفاده از شبیه‌سازی رایانه‌ای نشان داده میشود. نتایج شبیه‌سازی نشان میدهد که استراتژی کنترل پیشنهادی در مقابله با اثر عیب سنسور در سیستم‌های سینگولار چندعاملی کارا میباشد.
واژگان کلیدی: سیستم‌های چندعاملی، سیستم‌های سینگولار، تخمین عیب حسگر، کنترل‌کننده تحمل پذیرعیب توزیعشده
نویسنده مسئول: سعید پورمیرزایی spoormirzai@aut.ac.ir×
1.مقدمه
به طور عمده رفتار پدیده‌ها و سیستم‌های فیزیکی با استفاده از مدل ریاضی مورد تحلیل و بررسی قرار میگیرد. مدل‌های ریاضی سیستم‌های کنترل بر اساس قوانین شناخته‌شده طبیعت طراحی
شده‌اند. این قوانین به طور معمول با استفاده از قانون دوم نیوتون و یا قوانین کیرشهف1و ... به صورت معادلات دیفرانسیلی-جبری2 (DAEs) توصیف میشود[1]. در مهندسی کنترل، سیستم‌هایی که معادلات توصیف‌کننده آن شامل معادلات دیفرانسیلی و جبری است، سیستم‌های سینگولار نامیده می‌شوند. این دسته از سیستم‌ها با عناوینی مانند سیستم‌های توصیف‌گر، سیستم‌های نیمه حالت،سیستم‌های مقید و سیستم‌های دیفرانسیلی-جبری نیز شناخته می‌شوند. سیستم‌های سینگولار در زمینه‌های مختلف نظیر فرایندهای شیمیایی [2]، سیستم‌های اقتصادی [3]، مدار‌های الکتریکی [4]، سیستم‌های ابعاد وسیع [5]، سیستم‌های مکانیکی مقید [6]، مهندسی پزشکی و رباتیک [7] و ... کاربرد دارند.
در سال‌های أخیر، سیستم‌های چندعاملی با توجه به کاربردهای متعدد خود مانند کنترل آرایش‌بندی زیردریایی، حرکت دسته‌جمعی ربات‌های سیار و... توجه جامعه‌ی مهندسی کنترل را به خود معطوف کرده است[8].
از یک سو کاربردهای متنوع سیستم‌های چندعاملی و از سوی دیگر قابلیت مدل‌سازی جامع و دقیق توسط سیستم‌های سینگولار موجب شده است که مطالعه و تحلیل سیستم‌های سینگولار چندعاملی به موضوعی جذاب در جامعه‌ی مهندسی کنترل تبدیل شود. به نحوی که در سال‌های أخیر تعداد قابل توجهی از فعالیت‌های تحقیقاتی به این موضوع اختصاص یابد. به عنوان نمونه می‌توان به طراحی کنترل‌کننده‌های توزیعشده به منظور اجماع [9]، دربرگیری [10]، آرایش‌بندی [11] و... اشاره کرد.
از طرفی، از اوایل دهه‌ی ۷۰ میلادی بررسی عیب در سیستم‌ها همواره موضوعی داغ در نظریه سیستم‌های کنترل بوده است[12]. بروز عیب در بسیاری از سیستم‌های دینامیکی امری اجتناب ناپذیر است و تأثیر منفی بر عملکرد سیستم می‌گذارد. لذا در طراحی سیستم‌های کنترل به نحوی که در برابر عیب‌ها تحمل‌پذیر باشند؛ ضروری است. یکی از مهم‌ترین رویکردهای طراحی کنترل تحمل‌پذیر عیب تخمین عیب‌ها و کاهش اثرات نامطلوب آنها در عملکرد سیستم کنترل میباشد.
در این مقاله مسئله تشخیص و تخمین عیب حسگر در سیستم‌های چندعاملی سینگولار در نظر گرفته شده است. با توجه به بررسی‌های انجام شده توسط نویسندگان، مسئله تخمین عیب حسگر در سیستم‌های چندعاملی سینگولار و طراحی کنترل‌کننده اجماع رهبر-پیرو برای این دسته از سیستم‌ها کاری جدید و انگیزه اصلی نگارش این مقاله است.
بخش‌های بعدی مقاله به شرح زیر سازماندهی و نگارش شده است. در بخش دوم، مروری بر پیشینه پژوهشی عیب در سیستم‌های چندعاملی سینگولار و موضوعات مرتبط انجام میشود. در بخش سوم، ابتدا نظریه گراف معرفی میشود. سپس، مسئله مورد مطالعه در این مقاله بیان و فرمول‌بندی میشود. بعد از آن، تعریف‌ها و مفاهیم اولیه‌ی لازم در حوزه سیستم‌های سینگولار و چندعاملی به صورت جداگانه شرح داده میشود. در ادامه فرض‌های در نظر گرفته شده در این مقاله بیان می‌شوند. در بخش چهارم، نتایج اصلی حاصل مطرح می‌شوند. در این بخش، ابتدا یک مدل الحاقی، به منظور تخمین همزمان متغیرهای حالت و عیب حسگر پیشنهاد میشود. سپس رویتگر سینگولار توزیعشده مبتنی بر مدل الحاقی پیشنهادی طراحی میشود. بعد از آن، کنترل‌کننده اجماع رهبر-پیرو برای سیستم چندعاملی سینگولار با فرض در دسترس بودن متغیرهای حالت طراحی میشود. در نهایت اصل جدایی‌پذیری به منظور استفاده از تخمین حالت‌های سیستم در بازخورد حالت اثبات میشود که فرض در دسترس بودن حالت‌های سیستم را مرتفع می‌کند. در بخش پنجم، یک شبیه‌سازی رایانه‌ای به منظور نشان دادن کارایی روش پیشنهاد شده انجام میشود. نتیجه‌گیری و پیشنهاد برای پژوهش‌های آینده در بخش ششم مطرح میشود.
علائم ریاضی. میدان اعداد حقیقی و میدان اعداد مختلط به ترتیب به صورت 
و 
نمایش داده میشود. بردار 
و ماتریس مربعی 
را در میدان اعداد حقیقی در نظر بگیرید. ترانهاده بردار با 
و معکوس ماتریس با 
نمایش داده میشود. عملگر 
نشان‌دهنده نرم اقلیدسی بردار 
میباشد. در رابطه با علامت ماتریس، عملگر
(
) و 
(
) به ترتیب نشان‌دهنده منفی معین (منفی نیمه معین) و مثبت معین (مثبت نیمه معین) بودن ماتریس A است.
1. مرور ادبیات
در این بخش، پژوهش‌های انجام‌شده روی موضوع مذکور مرور میشود. در زمینه‌ی تخمین و کنترل عیب حسگر سیستم‌های سینگولار، فعالیت‌های تحقیقاتی ارزشمندی صورت گرفته است. در [13] یک رویتگر سینگولار به منظور تخمین مستقیم عیب حسگر در یک سیستم سینگولار در حضور اغتشاش طراحی شده است. تخمین و جداسازی عیب حسگر در مدل سینگولار از سیستم کنترل وضعیت ماهواره با وجود نویز فرایند و اندازه‌گیری با طراحی فیلتر کالمن تطبیقی در [14] مورد بررسی قرار گرفته است. در [15] یک رویتگر مودلغزشی زمان محدود به منظور کنترل سیستم سینگولار تأخیردار تحت عیب حسگر در نامعینی‌های غیرخطی طراحی شده است. یک رویتگر ورودی ناشناخته به منظور تخمین عیب حسگر در سیستم‌های سینگولار پارامتر متغیر تأخیردار در [16] طراحی شده است. به منظور تخمین عیب حسگر در سیستم‌های سینگولار مرتبه‌کسری، یک رویتگر مرتبه‌کسری ورودی ناشناخته در [17] طراحی شده است. در [18] تخمین عیب حسگر در یک سیستم غیرسینگولار در نظر گرفته شده است. در این مقاله با تشکیل مدل الحاقی که سیستم استاندارد را به یک سیستم سینگولار تبدیل می‌کند و با طراحی رویتگر ورودی ناشناخته سینگولار، تخمین متغیرهای حالت سیستم و عیب حسگر به صورت همزمان انجام شده است. در [19] مسئله‌ی تخمین عیب عملگر و عیب حسگر سیستم‌های سینگولار سوییچینگ مورد مطالعه قرار گرفته است. در این مقاله تخمین متغیرهای حالت، عیب عملگر، عیب حسگر و اغتشاش با تشکیل یک سیستم افزوده‌شده و طراحی یک رویتگر سینگولار به صورت همزمان صورت میگیرد. در [20] یک رویتگر مودلغزشی سینگولار به منظور تخمین متغیرهای حالت سیستم، عیب عملگر و عیب حسگر طراحی شده است. سیستم در نظر گرفته شده در این مقاله مربوط به کلاس خاصی از سیستم‌های غیرخطی غیرسینگولار و روش پیشنهادشده در نهایت به یک سیستم بخار اعمال شده است.
در سال‌های أخیر، پژوهش‌های متعدد و متنوعی در خصوص تشخیص و تخمین عیب در سیستم‌های چندعاملی استاندارد (غیرسینگولار) گزارش شده‌اند. در [21] یک مدل الحاقی به منظور تخمین عیب حسگر برای یک سیستم چندعاملی زمان گسسته و بدون رهبر با هدف اجماع معرفی شده است. بر اساس این مدل الحاقی یک رویتگر لیونبرگر به منظور تخمین همزمان متغیرهای حالت و عیب حسگر طراحی شده است. مسئله‌ی تشخیص، تخمین و جداسازی عیب حسگر در سیستم‌های چندعاملی زمان گسسته و رهبر-پیرو در [22] مورد بررسی قرار گرفته است. این مقاله عیب حسگر با طراحی بانکی از رویتگر تشخیص، جداسازی و تخمین زده میشود. نکته قابل توجه در این مقاله، متفاوت بودن دینامیک عامل رهبر با عامل‌های پیرو میباشد. تعمیم این مقاله به حالت زمان پیوسته در مقاله [23] انجام شده است. در هر دو مقاله، رویت‌گرهای طراحی شده برای هر عامل تنها از اطلاعات همان عامل استفاده می‌کند که حالت ساده‌تری از رویت‌گرهای توزیعشده محسوب می‌شوند. در [24] یک سیستم چندعاملی زمان گسسته به همراه اغتشاش، نویز اندازه‌گیری و عیب حسگر در نظر گرفته شده است. در این مقاله از نظریه سیستم‌های سینگولار به منظور توصیف یک مدل الحاقی استفاده شده است. ابتدا با در نظر گرفتن عیب حسگر به عنوان یک متغیر حالت کمکی، یک مدل الحاقی مستطیلی پیشنهاد میدهد. سپس با ترکیب طراحی رویتگر ورودی ناشناخته و حل مسئله 
سعی بر حذف اثر اغتشاش و نویز اندازه‌گیری را دارد. این مقاله تفاوتی برای اغتشاش و نویز اندازه‌گیری در طراحی خود قائل نشده است که این موضوع از جذابیت موضوع می‌کاهد. در [25] یک مدل الحاقی معادل با سیستم اصلی معرفی میشود. این تبدیل معادل، سیستم اصلی را به سیستم سینگولار تبدیل می‌کند و با طراحی یک رویتگر توزیعشده، عیوب متغیر با زمان را تخمین می‌زند. در این مقاله شرط منظم بودن مدل الحاقی در نظر گرفته نشده است که نشان میدهد روش پیشنهادشده در این مقاله کارایی ندارد. در [26] نیز رویکردی مشابه با مقاله [25] پیشنهادشده و روش پیشنهادی بر روی یک خودروی زمینی خودمختار اعمال شده است. این مقاله به منظور بدست آوردن دقیق متغیر مدنظر شبکه‌ای از حسگرهارا پیشنهاد می دهد. سپس با تعریف مدل الحاقی که سیستم اصلی را به یک سیستم سینگولار تبدلی می‌کند، سعی بر تخمین عیب حسگر دارد. اما از آن جا که مدل الحاقی معرفی شده منظم نیست، لذا رویکرد پیشنهادی کارایی ندارد.
در زمینه عیب در سیستم‌های چندعاملی سینگولار، کارهای محدودی انجام شده است. در [27] سیستم چندعاملی سینگولار همگن رهبر-پیرو در نظر گرفته شده است. در این مقاله، تخمینی از عیب انجام نشده و به طور مستقیم یک کنترل‌کننده تطبیقی به منظور افزایش تحمل‌پذیری سیستم در برابر عیب عملگر طراحی شده است. در [28] عیب عملگر در سیستم‌های چندعاملی مرتبه‌کسری سینگولار مورد بررسی قرار گرفته است. در این مقاله عیب به صورت یک تابع مشتق‌پذیر در نظر گرفته میشود. با استفاده از بسط تیلور توابع، مدل الحاقی متشکل از عیب و مشتقات آن تشکیل میشود. سپس با طراحی رویتگر توزیعشده، عیب را تخمین و از تخمین عیب برای کنترل سیستم استفاده می‌کند. نکته مورد توجه در این مقاله این است که مدل مورد بررسی این مقاله دارای عدم قطعیت است اما در طراحی رویتگر، پارامترهای سیستم به همراه عدم قطعیت آنها استفاده شده است.
3. پیش‌نیازها و بیان مسئله
3 .1 نظریه گراف
توپولوژی یک شبکه‌ی ارتباطی را می‌توان توسط یک گراف جهت‌دار یا بدون جهت بر اساس اینکه جریان اطلاعات یک طرفه یا دوطرفه باشد؛ نشان داد. توپولوژی ارتباطی سیستم‌های چندعاملی نیز از این قاعده مستثنی نیست. توپولوژی ارتباطی بین N عامل پیرو توسط گراف 
توصیف میشود که در آن، 
مجموعه‌ای از N گره و هر گره نماینده یک عامل در گراف میباشد. 
نشان‌دهنده مجموعه‌ای از یال‌ها که ارتباط بین دو عامل را مشخص می‌کند و
ماتریس مجاورت مربوطه است. اگر 
یا عامل j در همسایگی عامل i باشد، در آن صورت 
و در غیر اینصورت، 
است. لازم به ذکر است همواره
میباشد. ماتریس لاپلاسین 
با استفاده از ماتریس مجاورت 
و گراف 
تعریف میشود به طوری که 
و
است. در گراف‌های بدون جهت، ماتریس لاپلاسین متقارن است. در حالت رهبر-پیرو، سیستم چندعاملی شامل یک رهبر (با اندیس r) و N عامل پیرو (با اندیس i) است. ماتریس 
به عنوان ماتریس ارتباط بین عامل‌های پیرو و عامل رهبر تعریف میشود. اگر عامل i در همسایگی رهبر باشد، 
و در غیر اینصورت، 
است. مسیر 
به 
در گراف یک توالی از گره‌های مجاور است که شروع آن از و پایان آن میباشد. اگر در یک گراف، یک مسیر بین هر گره وجود داشته باشد، گراف متصل است. در حالت رهبر-پیرو، تنها مسیری که همه گره‌ها را شامل میشود، از عامل رهبر شروع میشود.
لم ۱ [29]: ماتریس 
مثبت معین و دارای مقادیر ویژه مثبت است اگر و تنها اگر گراف متصل باشد.
3 .2 فرمول‌بندی مسئله
عامل‌های پیرو یک سیستم چندعاملی سینگولار خطی، همگن، نامتغیر با زمان و درحضور عیب حسگر به صورت معادله (۱) در نظر گرفته میشود:
(۱) |
|
که در آن، 
بردار متغیرهای حالت،
بردار ورودی کنترلی، 
بردار خروجی اندازه‌گیری شده و 
بردار عیب حسگرهای عامل i هستند. ماتریس‌های 
، A، B، C و
ثابت و حقیقی با ابعاد مناسب می‌باشند. ماتریس سینگولار بوده و دارای مرتبه به صورت 
میباشد.
هم‌چنین، دینامیک عامل رهبر به صورت معادله (۲) در نظر گرفته میشود:
(2) |
|
که در آن، 
، 
و 
به ترتیب بردار متغیرهای حالت، بردار ورودی کنترلی و بردار خروجی عامل رهبر میباشد.
در ادامه، تعاریف پایه‌ای مورد استفاده در این مقاله بیان می‌شوند.
تعریف ۱ [30]: سیستم سینگولار به صورت معادله (3) در نظر گرفته میشود.
(۳) |
|
· سیستم سینگولار (۳) در حالت ورودی صفر (
) را منظم گویند اگر ثابت 
وجود داشته باشد به طوری که معادله (۴) برقرار باشد.
(۴) |
|
· سیستم سینگولار (۳) در حالت ورودی صفر () را بدون ضربه گویند اگر شرط (۵) برقرار باشد.
(۵) |
|
· سیستم سینگولار (۳) مجاز است اگر منظم، پایدار و بدون ضربه باشد.
· سیستم (۳) رویت‌پذیر نسبی است اگر و تنها اگر رابطه (۶) برقرار باشد.
(۶) |
|
· سیستم (3) کنترل‌پذیر نسبی است اگر و تنها اگر رابطه (۷) برقرار باشد.
(۷) |
|
تعریف ۲ [31]: یک سیستم چندعاملی رهبر-پیرو خطی با دینامیک کلی و گراف بدون جهت در نظر گرفته میشود. تحت این شرایط اجماع به صورت معادله (۸) تعریف میشود.
(۸) |
|
در این مقاله فرض‌هایی درنظر گرفته شده است، که در ادامه به آن اشاره میشود.
فرض 1: سیستم سینگولار (۱) به ازای 
منظم و بدون ضربه است.
فرض 2: گراف تعاملی سیستم متصل، بدون جهت و ثابت با زمان است.
فرض 3: ماتریس مربعی 
در سیستم (۱) رتبه کامل دارد.
فرض 4: سیستم سینگولار (۱) رویت‌پذیر نسبی و کنترل‌پذیر نسبی است.
فرض‌های ۱، ۲ فرض‌های رایجی به ترتیب در تحلیل سیستم‌های سینگولار، سیستم‌های چندعاملی است. فرض 3 به این موضوع اشاره دارد که تعداد عیب‌ها نمی‌تواند از تعداد خروجی‌های سیستم تجاوز کند. از طرفی با توجه به اینکه عیب ذاتاً غیرقابل پیشبینی است لذا در این مقاله فرض شده است که در تمامی کانال‌های خروجی امکان وقوع عیب وجود دارد و مربعی در نظر گرفتن ماتریس 
نیز به این موضوع اشاره دارد. هم‌چنین، فرض 4 شرط لازم برای طراحی رویتگر وکنترل‌کننده است.
در این مقاله، عیب حسگر در سیستم‌های چندعاملی سینگولار در نظر گرفته شده است. یک مدل الحاقی با استفاده از خروجی سیستم به منظور تخمین عیب حسگر معرفی میشود. بر اساس مدل الحاقی، یک رویتگر توزیعشده سینگولار به منظور تخمین متغیرهای حالت سیستم و عیب حسگر به صورت همزمان طراحی شده است. سپس با استفاده از تخمین حالت‌های انجام شده، یک کنترل‌کننده توزیعشده مبتنی بر رویتگر به منظور اجماع رهبر-پیرو برای سیستم طراحی شده است. از آن‌جا که تخمین حالت‌های انجام شده از روی خروجی معیوب حاصل میشود و از تخمین حالت‌های سیستم برای طراحی کنترل‌کننده استفاده میشود، لذا کنترل‌کننده طراحی‌شده را می‌توان کنترل‌کننده تحمل پذیر عیب حسگر دانست. دیاگرام بلوکی ساختار بیان شده در شکل (۱) نشان داده شده است. قسمت‌های مختلف ساختار کنترل پیشنهادی و جزئیات آن به تفصیل در قسمت‌های بعدی بیان می‌شوند.
شکل ۱- دیاگرام بلوکی ساختار رویتگر و کنترل‌کننده بیان‌شده در مقاله.
4. نتایج اصلی
4 .1 مدل الحاقی
به منظور تخمین عیب حسگر در سیستم (۱)، از رویکرد ترکیب معادلات خروجی با معادلات فضای حالت سیستم استفاده شده است. با استفاده از این رویکرد، تخمین همزمان بردار متغیرهای حالت و عیب حسگر قابل انجام است. به همین منظور با استفاده از اطلاعاتی که از خروجی اندازه‌گیری شده‌ی هر عامل در دسترس است، مدل الحاقی به صورت معادله (۹) تشکیل میشود.
(۹) |
|
متغیرهای مدل الحاقی (۹) به صورت معادله (۱۰) معرفی می‌شوند.
(۱۰) |
|
پارامترهای مدل الحاقی (۹) به صورت معادله (۱۱) تعریف می‌شوند.
(۱۱) |
|
دینامیک جمعی مدل الحاقی (9) نیز با تعریف متغیرهای جمعی و با بهره‌گیری از معادله (۱۲) به صورت معادله (۱۳) بدست میآید.
(۱۲) |
| ||
(۱۳) |
| ||
تحلیل منظم بودن و بدون ضربه بودن در نظریه سیستم‌های سینگولار از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است. از یک سو منظم بودن یک سیستم سینگولار تضمین‌کننده‌ی وجود پاسخ برای آن سیستم است و از سویی دیگر بدون ضربه بودن سیستم سینگولار موید آن است که سیستم دارای رفتار مخرب نخواهد بود. چراکه رفتار ضربه‌گونه‌ی سیستم باعث وارد شدن آسیب جدی به آن خواهد میشود و ایمنی آن را با خطر با مواجه می‌سازد. به عنوان نمونه این رفتار ضربه‌گونه در سیستم‌های الکتریکی و فرآیندهای شیمیایی به ترتیب با جرقه و انفجار نمود پیدا خواهند کرد. بنابراین، از آن جا که مدل الحاقی پیشنهادی به صورت سینگولار است لذا ضروری است که ویژگی منظم بودن و بدون ضربه بودن آن مورد بررسی قرار گیرد. لم (۲) این موضوع را نشان میدهد.
لم 2: مدل الحاقی (۹) منظم و بدون ضربه است اگر و تنها اگر سیستم (۱) منظم و بدون ضربه باشد.
اثبات: رابطه دترمینان برای ماتریس‌های قطری بلوکی به صورت معادله(۱۴) است.
(۱۴) |
|
از طرفی طبق تعریف (۱)، شرط منظم بودن مدل الحاقی (۹) به صورت رابطه‌ی (۱۵) بیان میشود.
(۱۵) |
|
از آن‌جا که ماتریس 
رتبه کامل فرض شده است، لذا مدل الحاقی (۹) منظم است اگر و تنها اگر شرط منظم بودن برای سیستم (۱) برقرار باشد که طبق فرض (۴) سیستم (۱) منظم در نظر گرفته شده‌است.
برای بررسی بدون‌ضربه بودن مدل الحاقی (۹) با در نظر داشتن رابطه 
به صورت زیر عمل میشود:
(۱۶) |
|
از آن‌جا که دترمینان ماتریس یک اسکالر است، لذا روی درجه تاثیری نمی‌گذارد و در نهایت شرط بدون ضربه بودن به صورت زیر برقرار است:
(۱۷) |
|
بنابراین، اثبات کامل میشود. 
توجه ۱: ساختار در نظر گرفته شده برای مدل الحاقی در این مقاله جدید است. شایان ذکر است، در برخی از فعالیت‌های تحقیقاتی مانند [25, 26] از مدل الحاقی سینگولار با ساختار متفاوت از مدل پیشنهادی توسط این مقاله نیز در نظر گرفته شده‌اند، اما منظم بودن و بدون ضربه بودن در آنها در نظر گرفته نشده است.
4 .2 طراحی رویتگر سینگولار توزیعشده
در این بخش، یک رویتگر توزیعشده سینگولار به منظور تخمین حالت‌های مدل الحاقی (9) طراحی میشود. معادله دینامیکی رویتگر به صورت رابطه (18) در نظر گرفته شده است:
(18) |
|
که در آن 
، بردار تخمین حالت عامل i، 
بردار تخمین خروجی عامل i، 
درایه‌های ماتریس قطری G، 
مجموعه همسایگی عامل i و ماتریس R ماتریس طراحی بهره رویتگر که در ادامه طراحی خواهد شد.
همان‌طور که در ساختار رویتگر (18) قابل مشاهده است، علاوه بر خروجی هر عامل از خروجی عامل‌های همسایه برای تخمین حالت‌های آن عامل استفاده شده است. این موضوع به این معناست که رویتگر طراحی شده توزیعشده است.
همان‌طور که پیش از این بیان شد، رویتگر طراحی‌شده قادر به تخمین حالت‌های سیستم و عیب حسگر به صورت همزمان میباشد. سیگنال‌های تخمین به صورت رابطه (19) قابل محاسبه است.
(19) |
|
در ادامه به منظور سهولت در نوشتار و یکپارچه کردن نمایش دینامیک رویتگر در عامل‌های مختلف، از نمایش جمعی آن به صورت زیر استفاده خواهد شد.
(20) |
|
برای تضمین همگرایی تخمین حالت‌های مدل الحاقی به حالت‌های اصلی آن، ابتدا خطای تخمین به صورت 
تعریف میشود. حال، دینامیک خطای تخمین حالت‌های مدل الحاقی به صورت معادله‌ی (21) بدست میآید.
(21) |
|
حال با تعریف متغیر جمعی به صورت 
دینامیک جمعی خطای تخمین حالت به صورت معادله (22) بدست میآید.
(22) 
به منظور سهولت در تحلیل پایداری دینامیک خطای تخمین (22)، یک تبدیل تشابهی به منظور قطری‌سازی، در معادله (23) معرفی میشود. دینامیک خطای تخمین (22) به دلیل وجود ماتریس لاپلاسین به صورت کامل قطری نیست.
(23) |
|
ستون‌های ماتریس M از بردارهای ویژه ماتریس تشکیل شده است. با توجه به تعریف متغیر جدید، دینامیک خطای تخمین حالت بر حسب متغیر جدید به صورت زیر بازنویسی میشود.
(24) |
|
حال از سمت چپ، عبارت 
را در طرفین تساوی فوق ضرب می‌کنیم.
(25) |
|
با توجه به رابطه 
داریم:
(26) |
|
اکنون قضیه 1 به منظور تحلیل پایداری دینامیک خطای تخمین حالت (26) و بدست آوردن ماتریس بهره R در رویتگر سینگولار توزیعشده (18) در شرایطی که ماتریس 
فاقد مقادیر ویژه‌ی تکراری باشد؛ ارائه میشود.
قضیه 1: دینامیک خطای تخمین حالت (26) پایدار است اگر ماتریس مثبت معین
و ماتریس 
وجود داشته باشند به طوری که نامساوی‌های ماتریسی رابطه (27) برقرار باشد.
(27) |
|
ماتریس بهره‌ی رویتگر با استفاده از حل نامساوی خطی ماتریسی فوق به صورت رابطه (28) بدست میآید.
[1] Kirchhoff
[2] Differential-Algebraic Equations (DAEs)
